[笔记] 次小生成树

一.定义:将所有生成树按照权值之和从小到大排列,求排在第二位的生成树.(PS:分严格与不严格, 如果最小生成树不唯一,严格次小生成树的权值必选小于最小生成树的权值)
二.生成树相关性质（参考蓝书）
　1.切割性质:（各边边权均不相同）一条边是连接某两个集合的最小边，那么这条边就在最小生成树中
　2.回路性质:（各边边权均不相同）图若有回路，那么回路中的最长边一定不在最小生成树中
三.预备知识—求树上两点的间的最大边权
1. 树型DP
　　1)最小瓶颈路:(u到v的路径满足最大边权值尽量小$\to$kruskal）,先求最小生成树,然后u到v的路径在树上是唯一的,取路径中最长的一条。
　　2)算法:树型DP$\to$f[u,v]:节点u,v之间的最小瓶颈路的最大边长
　　3)步骤:
　　　　建立最小生成树
　　　　dfs遍历:
　　　　令当前访问的节点为now,父亲节点为fa,已经访问过的点x,w[i,j]为权值
　　　　转移方程:$f[x,now]=ma(f[x,fa],w[now,fa])$
　　4)时间复杂度:O($n^2$) [ 枚举:n 遍历;n ]
　　
2. $LCA$
　　对于单个询问,直接求出两点间的$LCA$,再直接暴力地找就行了
　　　$PS$:可以利用$LCA$与$RMQ$的转化优化,最快可以做到$O(n)$预处理，$O(1)$的查询 { $LCA \to \pm RMQ$(约束$RMQ$) }
　　　
3. $kruskal$重构树
　　具体的网上有,对此就不多说了.树上两点间$LCA$的点权即为所求.
　　blog
　　
4. $\dots INF$
　　像树剖、$LCT$那些神(du)奇(liu)的东西就不用说了吧 (反正也不会)

三:次小生成树
　　1.定理:次小生成树一定由最小生成树经过”边交换”(加上一条边再删去一条边)得到.
　　2.思路:枚举加入的新边,形成回路后,删去权值最大的一条边(回路性质)
　　3.步骤:
　　　　预处理出任意两点的最小瓶颈路
　　　　枚举新边,更新ans
　　　　
　　update(2018.8.27):若$MST$不唯一,且要求严格次小生成树,则要保证删除的边权新边边权（即有必要时,要寻找路径上的次小边）,本人做法:特判,在kurskal重构树上直接暴力找.

---

模板:洛谷P4180
　　my blog

---

　若有更优的算法,望dalao指点