POJ 1276(多重背包)

题意: 给出现金cash 和钱币的种类n,之后对应n组钱币的数量和面值，求用这些钱币组合出的不超过cash 的最大金额。

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分析:多重背包：

有n种物品和容量为v的背包，每种物品有num[i]个，每个物品价值value,费用expense。求在费用不超过容量v 的前提下，背包能够装在物品的最大价值。
如果把每个物品看作独立 的个体，就可直接按照01背包来处理，但是这样每个状态时间复杂度相对很高（nv*num[i]）；
二进制拆分思想(降低时间复杂度)：对于任一物品i，数量num[i],可以拆分成
2^0, 2^1, 2^2…… 2^k, num[i]-2^(k+1)+1 ;
对于拆分出来的物品状态其费用和价值便为value*2^k, expense*2^k，
这样同时可以保证对于0-num[i]间的每一个整数都可以用这些系数和来表示。这样就将第i种物品分成了O(log n[i])种物品，将原问题转化为了复杂度为O(V*Σlog n[i])的01背包问题。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define N 100002
int dp[N],num[12],val[12];

void ZeroOne_Package(int value,int weight,int m)
{
    for(int j=m;j>=weight;j--)
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight]+value);
}
void Complete_Package(int value,int weight,int m)
{
    for(int j=weight;j<=m;j++)
    dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight]+value);
}

void Multiply_Package(int *v,int *w,int m,int n)
{
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(num[i]*w[i]>m)//当num[i]>m/w[i],视为无限个，即为完全背包
            Complete_Package(v[i],w[i],m);
        else{
            int k=1;//二进制拆分
            while(k<=num[i])
            {
                ZeroOne_Package(k*v[i],k*w[i],m);
                num[i]-=k;
                k<<=1;
            }//对拆分后剩余的，再进行01背包
            ZeroOne_Package(num[i]*v[i],num[i]*w[i],m);
        }
    }
}

int main()
{
    int n,c;
    while(~scanf("%d%d",&c,&n)){
        memset(num,0,sizeof(num));
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d%d",num+i,val+i);
        Multiply_Package(val,val,c,n);
        printf("%d\n",dp[c]);
    }
    return 0;
}