Soup Servings 分汤

有 A 和 B 两种类型的汤。一开始每种类型的汤有 N 毫升。有四种分配操作：

1. 提供 100ml 的汤A 和 0ml 的汤B。
2. 提供 75ml 的汤A 和 25ml 的汤B。
3. 提供 50ml 的汤A 和 50ml 的汤B。
4. 提供 25ml 的汤A 和 75ml 的汤B。

当我们把汤分配给某人之后，汤就没有了。每个回合，我们将从四种概率同为0.25的操作中进行分配选择。如果汤的剩余量不足以完成某次操作，我们将尽可能分配。当两种类型的汤都分配完时，停止操作。

注意不存在先分配100 ml汤B的操作。

需要返回的值： 汤A先分配完的概率 + 汤A和汤B同时分配完的概率 / 2。

示例:
输入: N = 50
输出: 0.625
解释:
如果我们选择前两个操作，A将首先变为空。对于第三个操作，A和B会同时变为空。对于第四个操作，B将首先变为空。
所以A变为空的总概率加上A和B同时变为空的概率的一半是 0.25 *(1 + 1 + 0.5 + 0)= 0.625。

注释:

• 0 <= N <= 10^9。

• 返回值在 10^-6 的范围将被认为是正确的。

思路：这道题分三步走

第一：我们需要把25ml看成一份，即假如输入是50，则对于A和B，份数均为2，我们用soupServingsCore(2,2)表示当A的份数为2且B的份数为2时的概率，具体soupServingsCore(i,j)函数如何递归下面有讲解

第二：我们采用递归的方法，用soupServingsCore(a,b)表示A有a份，B有b份的概率，那么相同的，用soupServingsCore(a-4,b)表示第一种情况，soupServingsCore(a-3,b-1)表示第二种情况，soupServingsCore(a-2,b-2)表示第三种情况，soupServingsCore(a-1,b-3)表示第四种情况，边界条件为：

if (a <= 0 && b <= 0) return 0.5;
if (a <= 0) return 1.0;
if (b <= 0) return 0.0;

那么递归公式为：

memo[a][b] = 0.25*(soupServingsCore(a - 4, b, memo)+soupServingsCore(a - 3, b-1, memo) + soupServingsCore(a - 2, b - 2, memo) + soupServingsCore(a - 1, b - 3, memo));

第三：由于当N足够大时，最后的概率会逼近1，所以当N>4000时，我们直接返回1即可（已经满足精度要求了）。

参考代码如下：

class Solution {
public:
double soupServingsCore(int a, int b, vector<vector<double>> &memo) {
	if (a <= 0 && b <= 0) return 0.5;
	if (a <= 0) return 1.0;
	if (b <= 0) return 0.0;
	if (memo[a][b] != -1) return memo[a][b];
	memo[a][b] = 0.25*(soupServingsCore(a - 4, b, memo)+soupServingsCore(a - 3, b-1, memo) + soupServingsCore(a - 2, b - 2, memo) + soupServingsCore(a - 1, b - 3, memo));
	return memo[a][b];
}
double soupServings(int N) {
    if(N>4000) return 1.0;
	vector<vector<double>> memo(200,vector<double>(200,-1));
	return soupServingsCore((N + 24) / 25, (N + 24) / 25,memo);
}
};