Perfect Squares 完全平方数

给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

示例 1:

输入: n = 12
输出: 3 
解释: 12 = 4 + 4 + 4.

示例 2:

输入: n = 13
输出: 2
解释: 13 = 4 + 9.

思路1：动态规划，这道题的递推式规律真的很不好找，这里给出几个例子。

如图所示，红色的字体标出所示，每个完美平方数都是由：另一个完美平方数+一个普通数组成。所以递推公式如下：

dp[i + j * j] = Math.min(dp[i] + 1, dp[i + j * j])

其中dp[i]表示第i个元素的完美平方数的个数。

参考代码：

    int numSquares(int n) {
	int res = 0;
	int *dp = new int[n + 1];
	for (int i = 0; i < n + 1; i++) {
		dp[i] = INT_MAX;
	}
	dp[0] = 0;
	for (int i = 0; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; (i + j * j) <= n; j++) {
			dp[i + j * j] = min(dp[i+j*j],dp[i]+1);
		}
	}
	res = dp[n];
	delete[] dp;
	return res;        
    }

思路二：这里用到了四平方和定理，这里任意一个正整数均可表示为4个整数的平方和，其实是可以表示为4个以内的平方数之和，那么就是说返回结果只有1,2,3或4其中的一个，首先我们将数字化简一下，由于一个数如果含有因子4，那么我们可以把4都去掉，并不影响结果，比如2和8,3和12等等，返回的结果都相同，读者可自行举更多的栗子。还有一个可以化简的地方就是，如果一个数除以8余7的话，那么肯定是由4个完全平方数组成。那么做完两步后，一个很大的数有可能就会变得很小了，大大减少了运算时间，下面我们就来尝试的将其拆为两个平方数之和，如果拆成功了那么就会返回1或2，因为其中一个平方数可能为0. (注：由于输入的n是正整数，所以不存在两个平方数均为0的情况)。注意下面的!!a + !!b这个表达式，可能很多人不太理解这个的意思，其实很简单，感叹号!表示逻辑取反，那么一个正整数逻辑取反为0，再取反为1，所以用两个感叹号!!的作用就是看a和b是否为正整数，都为正整数的话返回2，只有一个是正整数的话返回1。

参考代码：

    int numSquares(int n) {
	while (n % 4 == 0) {
		n = n / 4;
	}
	if (n % 8 == 7) {
		return 4;
	}
	for (int i = 0; i <= n; i++) {
		for (int j = 0; (i*i + j * j) <= n; j++) {
			if ((i*i + j * j) == n) {
				return !!i + !!j;
			}
		}
	}
	return 3;  
    }

时间的提升简直就是bug级别的！！！！！！

给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

示例 1:

输入: n = 12
输出: 3 
解释: 12 = 4 + 4 + 4.

示例 2:

输入: n = 13
输出: 2
解释: 13 = 4 + 9.