小波变换教程(六)

小波变换网文精粹：小波变换教程(六)

原文：ROBI POLIKAR. THE ENGINEER'S ULTIMATE GUIDE TO WAVELET ANALYSIS：The Wavelet Tutorial

网址：http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html

译文转自：http://blog.163.com/renfengyuee@126/blog/static/3594313620109117185720/

六、小波变换基础：傅立叶变换（一）

        让我们对前面的内容做个简要回顾。

        基本上，我们要用小波变换来处理非平稳信号，即那些频率分量随时间变换而变换的信号。上文我已经说过傅立叶变换不适合处理这些非平稳信号，并且举了例子来来佐证。再做一个快速的回顾吧，看下面这个例子：假定我们有两个不同的信号，再假设他们都有相同的频谱分量，只有一点不同，其中一个信号含有的四个频率分量在整个信号周期内都存在，另外一个也有相同的四个频率分量，但出现的时间各不相同。两个信号的傅立叶变换将会是一样的，如同在文章的第一部分中所讲到的那个例子。虽然这两个信号是完全不同的，但他们的傅立叶变换却是相同的！这一点很明显告诉我们不能用傅立叶变换来处理非平稳信号。但是这是为什么呢？换句话说，为什么完全不同的两个信号却有同样的傅立叶变换呢？傅立叶变换到底是怎么变换的？

        信号处理中的一个重要里程碑：傅立叶变换！！

        基于以下两个原因，我不想深究傅立叶变换的细节：

        1、  这个课题对本教程来说太广了。

        2、  它不是我们主要关注的对象。

        不过，基于以下原因，我将会在文中涉及一些要点：

        1、  为了理解小波变换，你需要傅立叶变换作为背景知识。

        2、  它是到目前为止最重要的信号处理工具，已经被用了很多很多年了。

        在十九世纪年（或许是1822年，不过你并不需要知道这么确切的时间，相信我，绝对比你能想起来的时间还早得多），法国数学家傅立叶，发现所有周期信号都可以表示为无限的周期复指数函数的和。在他发现了这个著名的周期函数性质之后，其想法被推广到第一个非周期函数，然后是周期和非周期的离散信号。在这之后，傅立叶变换就成了在计算机中非常适合的计算工具。年，出现了一个叫做快速傅立叶变换的新算法，从此傅立叶变换更加流行了。

        傅立叶变换将信号分解为具有不同频率的复指数函数，可以用以下两个公式来解释它的变换过程：

                    

                                                                        图2.1

        在上式中，表示时间，表示频率，表示要分析的信号。注意到表示信号的时域，表示信号的频域，这个约定用来区别对信号的两种表示。公式叫做x(t)的傅立叶变换，公式叫做X(f)的傅立叶逆变换，其结果是。用过傅立叶变换的人对这些已经很熟悉了，但不幸的是，很多人虽然用到了这些公式，却没有理解它的基本原理。现在仔细看公式：信号是一些指数项的累加和，每个项对应特定的频率，然后在整个时域内整合起来（这里的“整个时域”将在下面进行介绍）。公式中的指数项还可以被写成下面这样：

                    cos(2.pi.f.t)+j.Sin(2.pi.f.t).......(3)

        上面的表达式以一个频率为的余弦信号作为实部，一个频率为的正弦信号作为虚部。所以我们实际要做的是用一些复数表达式叠加出原始信号，这些复数表达式包含了频率为的正弦和余弦分部。然后我们对乘积积分，即我们把乘积中的所有的点叠加起来。如果积分结果（只不过某种无限求和）的值很大，那么我们可以这样说：信号x(t)在频率f处有一个大的频谱分量。信号主要是由频率为的分量组成。如果积分结果的值较小，就意味着信号中频率为的分量很少。如果积分结果为，表明信号中根本不存在频率为的分量。这里很有意思，让我们看看积分是怎么回事：信号是由一些不同频率的正弦项叠加起来的，如果信号中频率为f的分量幅值较大，那么这个分量就和正弦项重叠，他们的积就会（相对）较大，这表明信号x有一个频率为f的主要分量。

        不过，如果信号中不含频率为的分量，则乘积结果为，这表明信号没有频率为的分量。如果频率为的分量不是信号的主要组成部分，则乘积会（相对）较小。这就说明频率为f的分量在信号中的幅值很小，不是信号中的主要组成分量。现在，变换公式中的积分方式已经有些过时了。公式中左边是一个对频率的函数，因此，式的积分是由每一个频率值计算出来的。

        注意！！因为积分是从负无穷到正无穷，所以积分在所有时间内有效。这说明了不管频率为的分量何时出现，都将会影响积分结果。换句话说，不管频率为的分量出现在时刻还是，都将对积分结果产生相同的影响。这就是为什么傅立叶变换不适合分析随时间变化,频率改变的信号，即非平稳信号。当且仅当频率为的分量一直存在（对所有的），傅立叶变换得到的结果才有意义。傅立叶变换可以给出某个频率分量存在与否，其结果不取决于信号出现的时间。需要知道的是，一个平稳的信号才优先用傅立叶变换进行处理。第一部分中给出的例子现在已经讲得很明白了，这里我再次给出：看下式：

                                                   x(t)=cos(2*pi*5*t)+cos(2*pi*10*t)+cos(2*pi*20*t)+cos(2*pi*50*t)

信号中含有四个频率分量，所有分量在信号的整个周期内都存在。

                    

                                                                                   图2.2

       这里是它的傅立叶变换。频率轴被剪切过了，因为理论上来说它是无穷的（仅指连续傅立叶变换，实际上我们在这里做的是离散傅立叶变换，频率轴最少要达到采样频率的两倍处，变换过的信号是对称的。不过现在这些都不重要）。

                  

                                                                           图2.3

上图中出现了四个尖峰，对应四个不同的频率。