FZU Problem 1015 土地划分

最新推荐文章于 2019-07-02 11:33:21 发布

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博客围绕Problem 1015土地划分问题展开，讲述富有的农庄主临终划分土地，需计算划分出的土地块数。给出输入输出格式及示例，提出解决方案，包括平面直线分区域公式、线段交点统计，还介绍判断两线段相交的快速排斥试验和跨立实验。

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Problem 1015 土地划分

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Problem Description

在Dukeswood这块土地上生活着一个富有的农庄主和他的几个孩子。在他临终时，他想把他的土地分给他的孩子。他有许多农场，每个农场都是一块矩形土地。他在农场地图上划上一些直线将矩形分成若干块。当他划直线时，他总是从矩形边界上的某一点划到另一个矩形边界上的点，这条线的结束点将成为下一条线的起始点。他划线时从不会让任三线共点。例如图1是某一种划分结果。

图1

划分的起始点和结束点均以五角星标记。当他完成划分后，他想要数一下划出的土地的块数以确保每个孩子都有一块地。例如，图1中土地被划分成18块。然而这个庄主由于年迈常会数错，因而他寻求你的帮助。

请写一个程序，输入原来的土地尺寸及线段的位置，输出划分出的土地块数。

Input

输入文件有多组数据组成。每组数据格式如下：
第一行输入地图的宽度w (1<=w<=1000)和高度 h (1<=h<=1000)，均为整数。
第二行输入线段数L (1<=L<=50)。
以下L+1行每行一个整数坐标(Xi,Yi)，庄主划的线段为(Xi,Yi)-(Xi+1,Yi+1)，i=1,2,…,L。当然(Xi,Yi)必定在矩形的边界上。
最后一组数据w=h=0，标志文件结束，不需要处理。

Output

对于给定的输入，输出一行仅含一个数，即划分出的土地块数。

Sample Input

18 12

8

2 0

6 12

10 0

18 9

15 12

0 6

14 0

10 12

0 9

7 6

6

2 0

5 6

7 3

0 3

3 0

3 6

0 5

0 0

Sample Output

18

11

解决方案

结论：平面上n条直线最多可以将平面分成f(n)个区域，其中

f(n)=（n²+n+2）/2

设f(n)为前n条输入的线段将矩形分成的区域个数，1≤ n ≤ L，L为线段总数。

边界: f(1) = 2，即一条线段将矩形分成2个区域，如下图 (a)所示。

递推：假设现在已经处理了n-1条线段，新线段为l，它和已有的n-1条线段交于t(n)个交点。注意其中有些交点在矩形边界上，这些交点也是线段的端点，必须将其排除，于是剩下t(n)个交点。如下图 (b)所示。由于题目中限定“任三线不共点”，因此这些交点将l分成t(n)+1条线段。这t(n)+1条线段将所在区域一分为二，这样就增加了t(n)+1个区域。

在这里插入图片描述

u［1… L］为线段序列，其中u[i]为第i条线段。计算过程如下

T←0；｛交点数初始化｝

for i←1 to L do｛统计L条线段之间的交点个数｝

for j←i+1 to L do

if **u[i]与u[j]**相交then T←T+1；

输出T+L+1；

接下来是如何判断两线段是否相交，利用跨立实验

快速排斥试验:

设以线段 P1P2 为对角线的矩形为R，设以线段 Q1Q2 为对角线的矩形为T，如果R和T不相交，显然两线段不会相交。

跨立实验:

（PS：下面的公式中*代表点积，×代表叉积）

如果两线段相交，则两线段必然相互跨立对方。

若P1P2跨立Q1Q2 ，则矢量 ( P1 - Q1 ) 和( P2 - Q1 )位于矢量( Q2 - Q1 ) 的两侧，

即( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( P2 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) < 0。

上式可改写成( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) × ( P2 - Q1 ) > 0。

当 ( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) = 0 时，说明 ( P1 - Q1 ) 和 ( Q2 - Q1 )共线，但是因为已经通过快速排斥试验，所以 P1 一定在线段 Q1Q2上；

同理，( Q2 - Q1 ) ×(P2 - Q1 ) = 0 说明 P2 一定在线段 Q1Q2上。

所以判断P1P2跨立Q1Q2的依据是：( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) × ( P2 - Q1 ) > 0。

同理判断Q1Q2跨立P1P2的依据是：( Q1 - P1 ) × ( P2 - P1 ) * ( P2 - P1 ) × ( Q2 - P1 ) > 0。

看懂这个公式需要掌握的数学知识：向量的叉积和向量的点积。

向量的点积：
          给你两个向量A（ax,by）,B(bx,by).
 
          向量A和B的点积公式：A*B=ax*bx+ay*by.
向量的叉积：
         给你两个向量A(ax,by) ，B(bx,by).
 
         向量的叉积公式：A×B=ax*by-ay*bx.
具体请看原文

作者：cfreezhan
原文：https://blog.youkuaiyun.com/freezhanacmore/article/details/7894751

#include<stdio.h>
int main()
{
	int w, h, l;
	int x[55], y[55];
	int i;
	int ans;
	while (scanf("%d%d", &w, &h) != EOF && w != 0 && h != 0)
	{
		//开始若有两条线则必定把矩形分成3块，且中间没有交点
		ans = 3;
		scanf("%d\n", &l);
		for (i = 0; i <= l; i++)
			scanf("%d%d", &x[i], &y[i]);
		if (l < 3)//当矩形中的线段小于三条时，分得的面积，就是线段数加上1;
		{
			ans = l + 1;
			printf("%d\n", ans);
			continue;
		}
		else
		{
			//当矩形中的线段大于三条时，每多出一条线，就会多出一个面，
			//然后多出的这条线与前面所有的线像比，若多出一个交点则，多出一个面
			for (i = 3; i <= l; i++)
			{
				ans++;
				int k = i - 2;
				//跨立试验，利用叉积判断是否相交
				while (k > 0)
				{
					int s1 = (x[i - 1] - x[k - 1])*(y[k] - y[k - 1]) - (y[i - 1] - y[k - 1])*(x[k] - x[k - 1]);
					int s2 = (x[k] - x[k - 1])*(y[i] - y[k - 1]) - (y[k] - y[k - 1])*(x[i] - x[k - 1]);
					if (s1*s2 > 0)
						ans++;
					k--;
				}
			}
		}
		printf("%d\n", ans);
	}
	return 0;
}