Problem 1015 土地划分
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Problem Description
在Dukeswood这块土地上生活着一个富有的农庄主和他的几个孩子。在他临终时,他想把他的土地分给他的孩子。他有许多农场,每个农场都是一块矩形土地。他在农场地图上划上一些直线将矩形分成若干块。当他划直线时,他总是从矩形边界上的某一点划到另一个矩形边界上的点,这条线的结束点将成为下一条线的起始点。他划线时从不会让任三线共点。例如图1是某一种划分结果。
图1
划分的起始点和结束点均以五角星标记。当他完成划分后,他想要数一下划出的土地的块数以确保每个孩子都有一块地。例如,图1中土地被划分成18块。然而这个庄主由于年迈常会数错,因而他寻求你的帮助。
请写一个程序,输入原来的土地尺寸及线段的位置,输出划分出的土地块数。
Input
输入文件有多组数据组成。每组数据格式如下:
第一行输入地图的宽度w (1<=w<=1000)和高度 h (1<=h<=1000),均为整数。
第二行输入线段数L (1<=L<=50)。
以下L+1行每行一个整数坐标(Xi,Yi),庄主划的线段为(Xi,Yi)-(Xi+1,Yi+1),i=1,2,…,L。当然(Xi,Yi)必定在矩形的边界上。
最后一组数据w=h=0,标志文件结束,不需要处理。
Output
对于给定的输入,输出一行仅含一个数,即划分出的土地块数。
Sample Input
18 12
8
2 0
6 12
10 0
18 9
15 12
0 6
14 0
10 12
0 9
7 6
6
2 0
5 6
7 3
0 3
3 0
3 6
0 5
0 0
Sample Output
18
11
解决方案
结论:平面上n条直线最多可以将平面分成f(n)个区域,其中
f(n)=(n2+n+2)/2
设f(n)为前n条输入的线段将矩形分成的区域个数,1≤ n ≤ L,L为线段总数。
边界: f(1) = 2,即一条线段将矩形分成2个区域,如下图 (a)所示。
递推:假设现在已经处理了n-1条线段,新线段为l,它和已有的n-1条线段交于t(n)个交点。注意其中有些交点在矩形边界上,这些交点也是线段的端点,必须将其排除,于是剩下t(n)个交点。如下图 (b)所示。由于题目中限定“任三线不共点”,因此这些交点将l分成t(n)+1条线段。这t(n)+1条线段将所在区域一分为二,这样就增加了t(n)+1个区域。
u[1… L]为线段序列,其中u[i]为第i条线段。计算过程如下
T←0;{交点数初始化}
for i←1 to L do{统计L条线段之间的交点个数}
for j←i+1 to L do
if **u[i]与u[j]**相交then T←T+1;
输出T+L+1;
接下来是如何判断两线段是否相交,利用跨立实验
快速排斥试验:
设以线段 P1P2 为对角线的矩形为R, 设以线段 Q1Q2 为对角线的矩形为T,如果R和T不相交,显然两线段不会相交。
跨立实验:
(PS:下面的公式中*代表点积,×代表叉积)
如果两线段相交,则两线段必然相互跨立对方。
若P1P2跨立Q1Q2 ,则矢量 ( P1 - Q1 ) 和( P2 - Q1 )位于矢量( Q2 - Q1 ) 的两侧,
即( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( P2 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) < 0。
上式可改写成( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) × ( P2 - Q1 ) > 0。
当 ( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) = 0 时,说明 ( P1 - Q1 ) 和 ( Q2 - Q1 )共线,但是因为已经通过快速排斥试验,所以 P1 一定在线段 Q1Q2上;
同理,( Q2 - Q1 ) ×(P2 - Q1 ) = 0 说明 P2 一定在线段 Q1Q2上。
所以判断P1P2跨立Q1Q2的依据是:( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) × ( P2 - Q1 ) > 0。
同理判断Q1Q2跨立P1P2的依据是:( Q1 - P1 ) × ( P2 - P1 ) * ( P2 - P1 ) × ( Q2 - P1 ) > 0。
看懂这个公式需要掌握的数学知识:向量的叉积和向量的点积。
向量的点积:
给你两个向量A(ax,by),B(bx,by). 向量A和B的点积公式:A*B=ax*bx+ay*by.
向量的叉积:
给你两个向量A(ax,by) ,B(bx,by). 向量的叉积公式:A×B=ax*by-ay*bx.
具体请看原文
作者:cfreezhan
原文:https://blog.youkuaiyun.com/freezhanacmore/article/details/7894751
#include<stdio.h>
int main()
{
int w, h, l;
int x[55], y[55];
int i;
int ans;
while (scanf("%d%d", &w, &h) != EOF && w != 0 && h != 0)
{
//开始若有两条线则必定把矩形分成3块,且中间没有交点
ans = 3;
scanf("%d\n", &l);
for (i = 0; i <= l; i++)
scanf("%d%d", &x[i], &y[i]);
if (l < 3)//当矩形中的线段小于三条时,分得的面积,就是线段数加上1;
{
ans = l + 1;
printf("%d\n", ans);
continue;
}
else
{
//当矩形中的线段大于三条时,每多出一条线,就会多出一个面,
//然后多出的这条线与前面所有的线像比,若多出一个交点则,多出一个面
for (i = 3; i <= l; i++)
{
ans++;
int k = i - 2;
//跨立试验,利用叉积判断是否相交
while (k > 0)
{
int s1 = (x[i - 1] - x[k - 1])*(y[k] - y[k - 1]) - (y[i - 1] - y[k - 1])*(x[k] - x[k - 1]);
int s2 = (x[k] - x[k - 1])*(y[i] - y[k - 1]) - (y[k] - y[k - 1])*(x[i] - x[k - 1]);
if (s1*s2 > 0)
ans++;
k--;
}
}
}
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}