<think>嗯,用户现在想在FreeFEM中用给定的边界条件和函数来求解Stokes方程。他们之前已经得到了一些步骤,但可能还需要更具体的指导。让我仔细看看用户提供的代码和之前的回答。
首先,用户提供的代码中有3D的Stokes方程,但之前的回答是针对2D的。这可能是一个问题,因为3D需要不同的网格和有限元空间。用户可能没有注意到这一点,需要指出正确的3D设置。
接下来,用户定义的函数如ue1, ue2, ue3以及He1, He2, He3,这些可能作为边界条件或源项。需要确认这些函数在Stokes方程中的角色。例如,ue系列可能是速度的精确解,而He可能与磁场有关,但Stokes方程本身不涉及磁场,所以可能需要澄清用户是否在求解MHD(磁流体动力学)问题,还是误用了代码。
然后,物理参数如Re, Rm, Sc等,这些通常在Navier-Stokes方程中使用,而Stokes方程可能只涉及粘度nu。用户可能混淆了不同的问题,需要明确参数的使用。比如,Re是雷诺数,而nu是动力粘度,应计算为1/Re。
用户提供的FreeFEM代码中有加载msh3和Element_Mixte3d,说明是3D问题。但之前的回答示例是2D的,所以需要调整建议以适应3D。例如,使用mesh3构建三维网格,选择适合3D的混合元,如P2-P1。
另外,用户提到了时间参数,但Stokes方程通常是稳态的,时间相关的部分可能属于瞬态问题,可能需要使用时间步进方法。但用户的问题可能只是稳态求解,需要确认是否需要时间循环。
边界条件的设置方面,用户提供的ue1等函数需要应用到三维网格的边界上。在FreeFEM中,需要指定边界标签,并确保正确应用Dirichlet条件。例如,在立方体的六个面分别设置标签。
可能还需要处理变分形式的正确表达,包括速度梯度的积分、压力项和连续性方程。在3D中,梯度项会有三个分量,需要调整变分形式的dx、dy、dz。
最后,验证部分需要计算与精确解的误差,并正确导出结果进行可视化。用户可能需要使用medit或其他工具来查看3D结果。
总结下来,用户需要的是在FreeFEM中实现3D Stokes方程的求解,使用给定的函数作为精确解或边界条件,并正确设置物理参数。需要调整之前的2D示例到3D,确保有限元空间、网格和变分形式的正确性,并处理可能的参数混淆问题。</think>以下是在FreeFEM中实现三维Stokes方程求解的完整方案,结合您提供的参数和函数定义:
### 一、三维Stokes方程数学形式
考虑不可压缩流体的稳态Stokes方程:
$$
\begin{cases}
-\nu \Delta \mathbf{u} + \nabla p = \mathbf{f} \\
\nabla \cdot \mathbf{u} = 0 \\
\mathbf{u}|_{\partial\Omega} = \mathbf{u}_e
\end{cases}
$$
其中$\nu=1/Re$,$\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3)$为速度场,$p$为压力场,$\mathbf{u}_e$为给定的精确解[^1]
### 二、完整FreeFEM代码
```freefem
// 三维网格生成
mesh3 Th = cube(20, 20, 20); // 单位立方体网格
// 混合有限元空间定义(P2-P1泰勒胡德元)
fespace Vh(Th, [P2, P2, P2, P1]); // [u1,u2,u3,p]
Vh [u1, u2, u3, p];
Vh [v1, v2, v3, q];
// 物理参数
real Re = 1.0;
real nu = 1.0/Re;
// 定义精确解
func ue1 = -pi/2*sin(pi*x)*sin(pi*y)*sin(pi*z)*sin(pi*x)*cos(pi*y)*cos(pi*z);
func ue2 = pi*sin(pi*x)*sin(pi*y)*sin(pi*z)*cos(pi*x)*sin(pi*y)*cos(pi*z);
func ue3 = -pi/2*sin(pi*x)*sin(pi*y)*sin(pi*z)*cos(pi*x)*cos(pi*y)*sin(pi*z);
func pe = sin(pi*x)*sin(pi*y)*sin(pi*z); // 假设压力精确解
// 计算源项f = -νΔu + ∇p
macro Grad(u)[dx(u), dy(u), dz(u)]//
macro Div(ux,uy,uz) (dx(ux)+dy(uy)+dz(uz))//
func f1 = -nu*(dx(ue1)*dx(ue1) + dy(ue1)*dy(ue1) + dz(ue1)*dz(ue1)) + dx(pe);
func f2 = -nu*(dx(ue2)*dx(ue2) + dy(ue2)*dy(ue2) + dz(ue2)*dz(ue2)) + dy(pe);
func f3 = -nu*(dx(ue3)*dx(ue3) + dy(ue3)*dy(ue3) + dz(ue3)*dz(ue3)) + dz(pe);
// Stokes问题求解
solve Stokes([u1,u2,u3,p], [v1,v2,v3,q]) =
int3d(Th)(nu*(Grad(u1)'*Grad(v1) + Grad(u2)'*Grad(v2) + Grad(u3)'*Grad(v3)))
- int3d(Th)(p*Div(v1,v2,v3))
- int3d(Th)(q*Div(u1,u2,u3))
+ int3d(Th)(1e-10*p*q) // 压力稳定项
- int3d(Th)(f1*v1 + f2*v2 + f3*v3)
+ on(1,2,3,4,5,6, u1=ue1, u2=ue2, u3=ue3);
// 误差计算
real L2error = sqrt(int3d(Th)((u1-ue1)^2 + (u2-ue2)^2 + (u3-ue3)^2));
real H1error = sqrt(L2error^2 + int3d(Th)((dx(u1)-dx(ue1))^2 + (dy(u1)-dy(ue1))^2 + ...));
cout << "L2 Error: " << L2error << endl;
// 可视化输出
medit("Velocity", Th, [u1, u2, u3]);
medit("Pressure", Th, p);
```
### 三、关键实现细节
1. **混合元选择**:使用$[P2,P2,P2,P1]$元满足LBB条件
2. **源项构造**:通过精确解的微分运算自动生成源项
3. **边界处理**:`on(1,2,3,4,5,6)`对应立方体6个面的Dirichlet条件
4. **压力稳定**:添加`1e-10*p*q`项避免数值震荡[^1]
### 四、磁流体扩展(结合He函数)
对于磁流体动力学(MHD)问题,需耦合Navier-Stokes和Maxwell方程:
```freefem
// 添加磁场变量
fespace Mh(Th, [P2, P2, P2]);
Mh [H1, H2, H3], [B1, B2, B3];
// 扩展方程组
varf MHD(...) {
// 添加洛伦兹力项:∇×(H×B)
// 包含磁场扩散项:num*ΔH
// 连续性条件:∇·H = 0
}
```
### 五、参数分析建议
```freefem
// 参数扫描示例
for (Re = 1; Re <= 100; Re *=10){
nu = 1.0/Re;
Stokes;
cout << "Re=" << Re << " Error=" << L2error << endl;
}
```