【TSOJ课程】24 1426 分数数列2

课程29_24 1426 分数数列2

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题目：

题目描述：

已知一个分数数列的如下：1/2,3/5,4/7,6/10,8/13,9/15,…。输入该数列的第n项，输出对应项的值（用分数表示）
其中0<n<=3000

输入描述：

多组输入，每组输入一个正整数n，表示该数列的第n项

输出描述：

对应于每组输入，输出该项对应的分数表示的值。

样例输入：

2011

样例输出：

3253/5264

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解析：

这道题代码倒是不难，主要是研究这个数列究竟是什么规律。那么这道题就变成了一道小学找规律题。

那么，如何快速的发现这道题的数列规律呢？这里教大家一个野路子，如果感兴趣的可以看一看，不感兴趣的略过即可。

大部分的OJ系统都是可以查看其他人做这道题的结果的，我们查询一下这道题的AC（就是通过的）数据，发现绝大部分的人通过的耗时都是20ms~40ms。
在OJ里，这个耗时可以反映出你的算法的时间复杂度，如果说这道题的数列是有通项公式的，那么一般耗时都是O(1)或者O(n)，也就是0ms，但是通过的代码都有耗时，说明要么通项公式里混有高时间复杂度（至少为O(n)）的项（比如组合数、阶乘），要么就说明式子根本没有通项公式。顺着这两个思路去思考，式子很快就出来了。
那么如果查询的结果发现基本上都是0ms，那么就从通项公式的角度去思考，也能很快的得到答案。

下面正式讲解规律的寻找：

首先，一个数列可能存在不止一个规律，我们的目标就是能找一个是一个，然后再根据已经找到的规律继续找。首先这个数列最显眼最一眼能看出来的，就是分子和分母的差。很明显：第一个数字的分子减分母是1，第二个为2，第三个为3……然后再根据题目给出的第2011项确认一下，第2011项差2011，说明这个规律是正确的。

接下来我们顺着这个思路去找，既然分子和分母的值是相对确定的（即确定了其中一个就能确定另外一个），那么我们就想办法确定其中一个。我们敏锐的发现，分子似乎从来都不重复，分母也是，所以我们猜测：分子可能是从来没有使用过的数字之中最小的那个。比如说第二项的分子3，就是因为1和2都被用过了，所以用了3，而第三项的分子4，是因为1、2、3、5都被用过了，所以选择了4。我们在不考虑运行速度的情况下写一个代码跑一下，发现2011项真的是3253/5264，那么这道题的规律就被我们找到了。

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解题：

在代码部分，我用了预处理的方法。预处理主要是用来针对多组输入的。如果题目给出的数据是多组输入，那么传统的做法是每给一个数据就算一次，这样会出现很多重复计算。而预处理是在输入之前就把所有的数据全部算出来，然后给什么数据就输出什么数据，无论输入的数据量有多少，运行时间都不会有太大的变化。

在接下来的题目中，我还会讲到一种预处理的变体，思路是“算到哪存到哪”，从平均耗时上比预处理更优秀。

参考代码：

// TSOJ-1426 分数数列2
#include <iostream>
using namespace std;

bool use[10000]={0};
int son[3001]={0}, father[3001]={0};
int now=0;

void _init(void)
{
	for(int i=1;i<3000;i++)
	{
		for(int s=i*1.6;s<=i*3;s++)
		{
			if(!use[s])
			{
				use[s] = true;
				use[s+i+1] = true;
				son[i+1] = s;
				father[i+1] = s+i+1;
				break;
			}
		}
	}
}

int main()
{
	son[1] = 1;
	father[1] = 2;
	use[0] = use[1] = use[2] = true;
	_init();
	int n;
	while(cin>>n)
	{
		cout<<son[n]<<'/'<<father[n]<<endl;
	}
	return 0;
}