【TSOJ课程】23 1426 分数数列2

课程29_23 1426 分数数列2

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题目：

题目描述：

已知一个分数数列的如下：1/2,3/5,4/7,6/10,8/13,9/15,…。输入该数列的第n项，输出对应项的值（用分数表示）
其中0<n<=3000

输入描述：

多组输入，每组输入一个正整数n，表示该数列的第n项

输出描述：

对应于每组输入，输出该项对应的分数表示的值。

样例输入：

2011

样例输出：

3253/5264

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解析：

其实绝大部分人栽在找规律上，说实话这道题的规律非常的诡异，也非常的神奇。甚至没有通项公式。

首先分子和分母的规律是最好找的，第1项分母和分子相差1，第2项分母和分子相差2，第3项分子和分母相差3。我们再验证一下：样例中，第2011项，分子和分母相差2011。

接下来我们就需要确认分子或者分母中的某一个，因为只需要确认一个就可以知道另一个了。

我们观察前几项：1/2,3/5,4/7,6/10,8/13,9/15。会发现分母和分子没有一个相同的数。于是我们大胆的猜测：分子是所有从来没有被使用过的数字之中最小的那个。

比如求第二项的时候，之前已经用了1和2，那么没用过的数字里最小的就是3。
第三项时，1、2、3、5都被用过了，所以分子用了4。
第四项时，1、2、3、4、5、7都被用过了，所以分子是6。
第五项时，1、2、3、4、5、6、7、10都被用过了，所以分子是8。
第六项时，1、2、3、4、5、6、7、8、19、13都被用过了，所以分子是9。

这个可能性已经非常大了，于是我们去写代码，然后发现第2011项果然是3253/5264。

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解题：

这里我们直接把3000个分数全部求出来。

我们开了一个数组，叫use，用来记录这个数字是否被使用过。

从原理上来说，代码中被“// mark”标记的地方应该是搜索未被使用过的最小的数字，我们应该从0开始搜，上不封顶。那我是如何知道s是在1.6倍i到3倍i之间的呢？原因很简单，我已经提前用一个速度比较慢版本的代码计算过，并且计算出分子的最小情况就是i的1.6倍。

这种用比较慢的算法算出结果，然后去找限定条件的方法，非常适合用来优化代码。

参考代码：

// TSOJ-1426 分数数列2
#include <iostream>
using namespace std;

bool use[10000]={0};
int son[3001]={0}, father[3001]={0};
int now=0;

void _init(void)
{
	for(int i=1;i<3000;i++)
	{
		for(int s=i*1.6;s<=i*3;s++) // mark
		{
			if(!use[s])
			{
				use[s] = true;
				use[s+i+1] = true;
				son[i+1] = s;
				father[i+1] = s+i+1;
				break;
			}
		}
	}
}

int main()
{
	son[1] = 1;
	father[1] = 2;
	use[0] = use[1] = use[2] = true;
	_init();
	int n;
	while(cin>>n)
	{
		cout<<son[n]<<'/'<<father[n]<<endl;
	}
	return 0;
}