【数学建模学习④】飞行管理问题

题目

在约10000米的高空的某边长为160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行，区域内每架飞机的位置和速度向量均有计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞，如果会碰撞，则应计算如何调整每架（包括新进入的）飞机飞行角度的方向角，以避免碰撞。现假定条件如下：
①不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里
②飞机飞行方向角调整的幅度不应该超过30度
③所有飞机飞行速度均为每小时800公里
④进入该区域的飞机在到达区域边缘时与区域内飞机的距离应在60公里以上
⑤最多需考虑6架飞机
⑥不必考虑飞机离开此区域后的情况
请你对这个碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。并对一下数据进行计算（方向角误差不超过0.01°）

飞机编号	横坐标X	纵坐标Y	方向角°
1	150	140	243
2	85	85	236
3	150	155	220.5
4	145	50	159
5	130	150	230
新进入	0	0	52

请根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。

1.问题分析

目的：避免碰撞（任意两架飞机的距离大于8公里）
手段：调整方向角（调整的幅度不应该超过30度）
要求：求调整角度的最小值
思路：
①找出不碰撞的条件
②求调整幅度的极小值
③建立优化模型

2.题目条件

①飞机在正方形区域内水平飞行
②飞机不碰撞的标准为二者距离大于8公里
根据①可建立一个XOY的二维平面坐标系，并确定四个边缘顶点，(0,0),(160,0),(160,160),(0,160).
根据②可将每架飞机视为一个以飞机坐标点为圆心，以4公里为半径的圆。每架飞机在空域中的状态由飞机位置以及速度矢量确定。
如果两圆相交，那么可以看作两架飞机相碰撞，如果两圆不相交，那么飞机不碰撞。
两圆是否相交只要讨论它们的相对运动即可。

3.模型假设

①飞机进入区域边缘时，立即做出计算，每架飞机按照计算后的指示立即作方向角改变、
②每架飞机在整个过程中至多改变一次方向
③忽略飞机转向的影响（转弯半径和转弯时间的影响）
④新飞机进入空域时，已在空域内部飞行的飞机的飞行方向已经调合适，不会碰撞
⑤每架飞机方向角的相同调整量的满意程度是一样的。

4.目标函数

$\min {\sum }_{i=1}^6\Delta {\theta }_i^2$
其中$\Delta {\theta }_i$表示第i架飞调整的方向角。

5.约束条件