【Hydro】SG滤波器纯numpy实现

已于 2023-11-29 18:24:35 修改
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分类专栏： 水文模型基础 文章标签： numpy
于 2023-11-29 18:22:16 首次发布
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本文介绍了Savitzky-Golay滤波器，一种用于平滑信号的时域和频域滤波方法。通过局部多项式拟合，它可以同时保持信号形状和宽度，降低噪声。文章详细讲解了滤波器的原理，包括滑动平均、卷积系数的推导，并提供了纯numpy实现的示例。此外，还讨论了处理数据边缘的方法和与其他库如scipy.signal的对比。

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说明

Savitzky-Golay滤波器（S-G滤波器）是一种在时域和频域上同时进行的滤波方法，它通过局部多项式拟合来平滑信号。这种滤波器的优点在于可以同时保持信号的形状和宽度，同时降低噪声的干扰。S-G滤波器最初由Savitzky和Golay于1964年提出，并发表在Analytical Chemistry杂志上。

Savitzky-Golay卷积平滑算法是移动平滑算法的改进。
在这里插入图片描述
一列数据x[n] 在图中用实心的圆点表示。考虑一组以n=0为中心的2M+1个数据，可以用如下的多项式来拟合：
在这里插入图片描述
最小二乘法拟合的残差为：
在这里插入图片描述
图中，实曲线表示的是N=2，M=2时得到的拟合多项式。滤波结果：

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Savitzky-Golay (SG) 滤波，又称最小二乘平滑滤波器，是一种在信号处理领域中广泛应用的数字滤波器。它通过在数据窗口内进行多项式最小二乘拟合，然后利用拟合的多项式来估计中心点的值，从而达到平滑信号并保留信号特征的目的。与简单移动平均滤波相比，SG 滤波在平滑噪声的同时，更能较好地保留信号的边缘和峰值信息，尤其在处理光谱数据、生物信号等需要精确分析信号特征的应用中，SG 滤波的优势尤为明显。
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SG滤波器通过在滑动窗口内拟合多项式来平滑数据，从而在去除噪声的同时，最大程度地保留了数据的细节和峰值。具体来说，它会在信号上选择一个固定大小的滑动窗口，并在每个窗口内使用多项式（通常是低阶多项式）对数据进行拟合。例如，在光谱分析中，SG滤波器常用于平滑滤波，以提高光谱的平滑性并降低噪音的干扰。：决定了拟合的复杂度。多项式阶次越高，拟合的复杂度越高，能更好地保留信号的细节，但也可能导致过拟合和噪声放大。与移动平均相比，SG滤波器不仅能够更好地处理窗口边界的数据，还能在平滑过程中保持信号的整体形态。
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