实分析中重要定理证明(一)----可测集的本质与构造

定理 若EE R d 上的可测子集,那么,对所有ϵ>0ϵ>0:
(1)存在开集OO, E O ,且m(OE)ϵm(O−E)≤ϵ;
(2)存在闭集FF, F 包含于EE,且 m ( E F ) ϵ
(3)若m(E)m(E)有限,存在一个紧集KK, K E m(EK)ϵm(E−K)≤ϵ
(4)若m(E)m(E)有限,存在一个有限并F=Nj=1QjF=⋃j=1NQj,QjQj为闭方体,使得m(EF)ϵm(E△F)≤ϵ

证明:
(1)
由可测集定义,对所有ϵ>0ϵ>0,存在开集OO,使得

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