实分析中重要定理证明(一)----可测集的本质与构造

定理 若$E$为$R^d$上的可测子集，那么，对所有$\epsilon \gt 0$:
(1)存在开集$O$,$E\subset O$,且$m(O-E)\leq \epsilon$;
(2)存在闭集$F$,$F$包含于$E$，且$m(E-F)\leq \epsilon$；
(3)若$m(E)$有限，存在一个紧集$K$,$K\subset E$，$m(E-K)\leq \epsilon$；
(4)若$m(E)$有限，存在一个有限并$F=\bigcup _{j=1}^{N}Q_j$,$Q_j$为闭方体，使得$m(E\triangle F)\leq \epsilon$；

证明：
(1)
由可测集定义，对所有$\epsilon \gt 0$,存在开集$O$,使得 E⊂O