莫比乌斯反演

莫比乌斯反演在数论中占有重要的地位，许多情况下能大大简化运算。那么我们先来认识莫比乌斯反演公式。

 

定理：和是定义在非负整数集合上的两个函数，并且满足条件，那么我们得到结论

 

     

 

在上面的公式中有一个函数，它的定义如下：

 

    （1）若，那么

    （2）若，均为互异素数，那么

    （3）其它情况下

 

 

对于函数，它有如下的常见性质：

 

    （1）对任意正整数有

  

                            （根据定义利用排列组合和二项式定理可以轻易证明）

 

        （2）对任意正整数有

 

        

 

线性筛选求莫比乌斯反演函数代码。

void Init()
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    mu[1] = 1;
    cnt = 0;
    for(int i=2; i<N; i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[cnt++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j=0; j<cnt&&i*prime[j]<N; j++)
        {
            vis[i*prime[j]] = 1;
            if(i%prime[j]) mu[i*prime[j]] = -mu[i];
            else
            {
                mu[i*prime[j]] = 0;
                break;
            }
        }
    }
}

有了上面的知识，现在我们来证明莫比乌斯反演定理。

 

证明

 

（d'能被n/d整除，那么一定能被n整除，所以调换位置不影响结果）

 

证明完毕！

 

嗯，有了莫比乌斯反演，很多问题都可以简化了，接下来我们来看看莫比乌斯反演在数论中如何简化运算的。