随机过程课中的一个复积分问题

今天上课的时候老师讲到标准正态分布$X$~$N(0,1)$的特征函数的求法的时候，老师提供了一种特别的方法，如下所示：

$$E(e^{itX})=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=e^{\frac{-t^2}{2}}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(x-it)^2}{2}}dx=e^{\frac{-t^2}{2}},$$
这个证明看起来有一定的道理，但是值得疑惑的是上面的证明涉及到了一个复积分，目前所学到的正态分布都是在实数范围内讨论的是否有这样的一种分布$X$~$N(it,1),t\in R,i^2=-1.$或者退一步，直接考虑如下复积分$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(x-it)^2}{2}}dx=1$是否成立？首先积分的存在性是可以保证的，取定$t$：
$$\left|\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(x-it)^2}{2}}dx\right|\leq \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left|e^{\frac{-(x-it)^2}{2}}\right|dx=e^{\frac{t^2}{2}}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{x^2}{2}}dx=e^{\frac{t^2}{2}}<+\infty$$

窃以为这是不可避免地引入复变的知识的，对所求积分做换元，实际上本问题只需要证明下面的式子即可：

$$\int_{-\infty-it}^{\infty-it}e^{\frac{x^2}{2}}dx=\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{k^2}{2}}dk,x \in C,k \in R.$$
考察积分$\int_{R-it}^{R+it}e^{\frac{x^2}{2}}dx,$如图所示考虑复平面上的一条周线$ABCD$,显然函数$e^{\frac{x^2}{2}}$在区域内解析，由柯西积分定理(积分与路径无关)有：(D点对应的复数应该是$R-it$才对，图中有误)

$$\int_{AB}+\int_{BC}+\int_{CD}+\int_{DA}=0,$$
故可以有如下等式成立
$$\int_{AD}=\int_{R-it}^{R-it}e^{\frac{x^2}{2}}dx=\int_{AB}+\int_{R}^{R}e^{\frac{x^2}{2}}dx+\int_{CD},$$
令$R \to \infty$ ,下面证明此时有$\mathop {\lim }\limits_{R \to \infty } \int_{AB}=0,\mathop {\lim }\limits_{R \to \infty } \int_{CD}=0$,注意到$AB$上的复数可以用$x=-R-ih,h\in [0,t]$，表示，那么考虑模：
$$0 \leq |e^{-\frac{x^2}{2}}|=|e^{-\frac{(-R-ih)^2}{2}}|=e^{-\frac{R^2+h^2}{2}}\leq e^{\frac{R^2+t^2}{2}}\to 0,$$
于是有$\mathop {\lim }\limits_{R \to \infty } \int_{AB}=0$,同理$\mathop {\lim }\limits_{R \to \infty } \int_{CD}=0.$于是
$$\mathop {\lim }\limits_{R \to \infty } \int_{R-it}^{R-it}e^{\frac{x^2}{2}}dx=\mathop {\lim }\limits_{R \to \infty }( \int_{AB}+\int_{CD})+\mathop {\lim }\limits_{R \to \infty } \int_{R}^{R}e^{\frac{x^2}{2}}dx=\mathop {\lim }\limits_{R \to \infty } \int_{R}^{R}e^{\frac{x^2}{2}}dx,$$
i.e.
$$\int_{-\infty-it}^{\infty-it}e^{\frac{x^2}{2}}dx=\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{k^2}{2}}dk,x \in C,k \in R.$$
于是问题得以完美解决，欢迎大家批评指正。

————————后续思考————————
1.一开始猜想$\int_{AB}=0,\int_{CD}=0$成立，然而并不，又猜想$\int_{AB}+\int_{CD}=0$，因为积分路径关于$y$轴对称，然而居然也不恒成立，没想到是在$R \to \infty$时分别等于0，叹为观止。

2.在思考前超过一些文献，认为涉及这种配方法的解答都是有问题的，毕竟这个问题似乎并不显然，比如维基百科的解释，表示遗憾