第十讲二阶齐次常系数线性ODE（续）

最新推荐文章于 2023-06-03 21:50:49 发布

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分类专栏：微分方程文章标签：麻省理工学院微分方程笔记

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这篇笔记介绍了二阶齐次常系数线性微分方程当特征方程解为共轭复数时的情况。讨论了实数解的条件，并通过逆向欧拉公式进行转换。同时，它应用到弹簧—质量—阻尼系统，分析了不同阻尼系数下振动方程的解，展示了如何影响振幅、伪周期和伪角速度，并证明了与阻尼系数的关系。

一，特征方程的解r是一对共轭复数： $r=a\pm bi$

$y=e^{(a\pm bi)t}\Rightarrow y_{1}=e^{(a+bi)t},y_{2}=e^{(a-bi)t}$
通解： $y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}=c_{1}e^{(a+bi)t}+c_{2}e^{(a-bi)t}$
因为 $y$ 是实数解， $e^{(a\pm bi)t}$ 是复数，要使方程两边相等，必须满足以下条件：
$c_{1}=\overline{c_{2}}=c+id$ ， $c_{2}=\overline{c_{1}}=c-id$

证明：如果 $y=u+iv=u-iv$ ，那么 $y$ 为实数
同理：如果 $y=c_{1}e^{(a+bi)t}+c_{2}e^{(a-bi)t}=\overline{c_{1}}e^{(a-bi)t}+\overline{c_{2}}e^{(a+bi)t}$ ，那么 $y$ 为实数

将 $c_{1},c_{2}$ 代入通解：

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