第四讲 一阶线性ODE换元法

最新推荐文章于 2024-02-11 18:24:35 发布
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分类专栏： 微分方程 文章标签： 麻省理工学院 微分方程 笔记
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_23940575/article/details/82955546
本文主要介绍了一阶线性常微分方程（ODE）的换元法，包括尺度变换及其好处，以及如何通过直接代换和逆代换解决伯努利方程和一阶齐次ODE。通过换元法，可以将复杂方程转化为可使用分离变量法或积分因子法求解的形式，简化问题并找到通解和特解。

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一，一阶线性ODE通常只有两种解法：

  • 分离变量法和积分因子法
  • 求解其他一阶微分方程需要先用换元法，化成可用以上两种方法求解的方程

二，尺度变换（拉伸或压缩坐标轴的方法）：x_{1}=\frac{x}{a}，y_{1}=\frac{y}{b}，a、b是常数

  • 尺度变换的好处：
  1. 可以改变物理使用的单位；
  2. 可以使物理变量无量纲化；
  3. 减少或简化方程中的常数（视频例子5:20~10:40）；

三，换元法可以分为两类：

  1. 直接代换：新变量={含老变量的方程}，例\int x\sqrt{1-x^{2}}dx，设新变量u=1-x^{2}
  2. 逆代换：老变量={含新变量和老变量的方程}，例\int \sqrt{1-x^{2}}dx，设老变量
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第三讲 一阶线性ODE
小访客的博客
10-06 1939
一，一阶线性ODE的一般形式：        二，标准形式： 如果或，则方程为齐次方程 三，“温度—浓度”模型： 假设用半透膜（只能渗透盐的膜）包裹着淡水放进已加热的盐水里，淡水的温度是，盐水的温度是， 建立温度扩散的微分方程（牛顿冷却定律）：，t表示时间，k表示热导率，k>0 初始条件： 假设淡水的浓度是，盐水的浓度是 建立浓度扩散的微分方程：，表示扩散率 初始条件...
第七讲 一阶常系数线性ODE
小访客的博客
10-14 1292
一，一阶常系数线性ODE一般形式：        ，k>0        详见第三讲的温度—浓度模型。就是把一阶线性ODE标准形式中的换成常系数k，换成，其中y是t的函数，k>0。 二，输入—响应：  是输入项，参照“温度—浓度模型”中温度和浓度是从外向里输入 解是响应项 三，输入叠加原理： 如果输入，产生响应；输入，产生响应 那么输入，产生响应；输入，产生响应 必须是...
MIT_18.03_ODE _3:一阶线性微分方程（ODE）
weixin_40664094的博客
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MIT_18.03_ODE _4:一阶换元法
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一阶方程换元法(lesson 4)
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09-24 1281
直接换元 对于y′=p(x)y+q(x)yny'=p(x)y+q(x)y^ny′=p(x)y+q(x)yn类型的微分方程可以使用直接换元 等式两侧同时乘以1yn\frac {1} {y^n}yn1​ y′yn=p(x)y1−n+q(x)\frac {y'}{y^n}=p(x)y^{1-n}+q(x)yny′​=p(x)y1−n+q(x) v=y1−nv=y^{1...
第五讲 一阶自治ODE
小访客的博客
10-10 1164
一，一阶自治ODE的形式： 含义：等式右边是因变量y的函数，不含自变量t（与时间无关）。 这种方程用分离变量就可以解，但有时求解非常繁琐 二，怎么在不解方程的前提下，知道解的性质？可以用几何法做””图： 三、求的解的性质（方程右边是一次方程）： 当时，点为临界点； 根据上式，做“”图和“”图：    当时，递增，箭头朝正方向；当时，递减，箭头朝负方向； 在””图上画出解曲线：...
第八讲 一阶常系数线性ODE（续）
小访客的博客
10-17 515
一，用直角坐标法，去掉中虚数部分： 去掉虚数部分： 二，将直角坐标法的解化成极坐标法的解（方便观察幅值和相位）：          利用三角恒等式：，，作图见视频9:00~10:00   三，证明，：  向量法：  复数法：，方程两边去掉虚数即证。 视频13:00~22:00 四，一阶线性ODE的应用： ，k>0，应用：浓度—扩散模型 如图 这是一个水池，内...
第二十讲 拉普拉斯变换求解线性ODE
小访客的博客
12-13 3912
一，拉氏变换公式： ， 二，保证的拉氏变换存在的条件： 只有在收敛的情况下，拉氏变换才存在 增长条件：保证拉氏变换存在的前提是的增长速度不能超过的收敛速度， 指数型表达法：，，， 正例： 反例： ，因为 ，因为，， 三，导数的拉氏变换： 解微分方程： 设初始条件：， 一阶导数的拉氏变换： （分部积分） 要使，必须满足增长条件：，，，，或者说 代入初始条件： ...
常微分方程（ODE）求解方法总结
luolei188的博客
06-03 3万+
常微分方程，数值求解方法
并行化计算实例-线性方程求解-C
SUPER_HEROs的博客
12-13 1165
#include "stdio.h" #include "stdlib.h" #include "mpi.h" #include "math.h" #define E 0.000001 #define a(x, y) a[x*size+y] #define b(x) b[x] #define v(x) v[x] #define v1(x) v1[x] #define A(x,y) A[x*size+y] #define B(x) B[x] #define V(x) V[x] #define intsize
数值计算一阶常微分方程求解实现
晓风残月xj
12-19 5194
二、引言 常微分方程是在解决实际问题的过程中产生的，微分方程的研究又促进实际问题的解决，从这可以看出微分方程的重要性。关于微分方程的问题一般比较复杂，我们在这里只选取其中较为简单的一阶常微分方程进行研究与讨论。 很多情况下实际问题是能通过抽象建模转化为一阶常微分方程形式的，然而即便给出了一阶常微分方程，想通过它来求解函数在某个点的值也并不是一件容易的事。因为即使给出了一阶微分方程及初值条件，即
积分规则、原则与导数，微分方程细分、难点---基本涵盖
eastlin
12-02 2174
积分 1.根据不定||定积分画出图像分析： 利用以下原则计算 1.可加性：积分区域不重叠 2.定限原则： I.积分区域为方形或规则立方体，谁先均可 II.不分类讨论 2.1对称性、轮转对称性、可加性 2.2积分不出现等值的 如，对x先积分原则是，积分区域内平行与x轴的线段没有相等的 2.分部积分原则 不定积分难易顺序（难->易）：反对幂指三 3.换元（不定积分要代回，定积分结果不变） 1.一般换元 2.三角函数换元 3.复合换元 4.拆分公式（3种）、倍..
01常微分方程（ODE）求解方法小结
主动降噪、故障检测方向
02-11 4157
微分方程，是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。
线性变换及其运算
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03-04 7512
1 变换（定义） 设V是数域K上的线性空间，T是V到自身的一个映射，使得对于V中的任意元素x均存在唯一的 与之对应， 则称T为V的一个变换或算子，记为 称y为x在变换T下的象，x为y的原象。 例如： 平面上所有起点为原点的向量的集合，形成二维线性空间，在中绕原点的旋转就是的一个变换。 2 线性变换 若变换T还满足 则称T为线性变换。 线性变换的性质： （1）线性变换把零元素仍变为零元素；...
Opencv中几何变换
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几何变换 OpenCV 提供了两个变换函数，cv2.warpAffine 和 cv2.warpPerspective，使用这两个函数你可以实现所有类型的变换。cv2.warpAffine 接收的参数是2 x 3 的变换矩阵，而 cv2.warpPerspective 接收的参数是 3 x 3 的变换矩阵。 1.尺度变换 尺度变换(缩放，拉伸)是调整图像大小，使其变...
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gukedream的专栏
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ode45求解微分方程（MATLAB）
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求解微分方程组的ODE算法
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4阶5级龙格库塔法用于解一阶微分方程（组），对于高阶微分方程，可以将其转换为一阶微分方程组求解。原程序由John.H.Mathews编写（数值方法matlab版），但只能解微分方程，不能解微分方程组。由LiuLiu@uestc修改，使之能够解微分方程组。该程序精度比matlab自带的ode45更高。 function [Rt Rx]=rkf45(f,tspan,ya,m,tol) %
一阶线性常微分方程解法
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一阶线性常微分方程求解 一阶线性常微分方程u构造
一阶非线性齐次方程
最新发布
06-08
<think>我们正在处理用户查询：“一阶非线性齐次方程推导过程数学公式解法”用户意图明确：希望获得一阶非线性齐次方程的推导过程、数学公式以及解法。注意：这里“齐次”一词可能有歧义。在微分方程中，“齐次”通常有两种含义：1.齐次微分方程：指方程中所有项都是同次数的（例如在多元函数中），或者对于线性方程，指自由项为零。2.齐次函数：满足f(tx,ty)=t^kf(x,y)的函数。而用户查询的是“非线性齐次方程”，通常非线性齐次方程可能指方程中的非齐次项为零，或者指由齐次函数构成的微分方程。然而，常见的非线性一阶微分方程中，齐次方程通常指的是形如：dy/dx=F(y/x)的方程，即方程右端可以表示为y/x的函数。因此，我们将按照这种常见的类型进行搜索和解答。计划步骤：1.介绍什么是一阶非线性齐次微分方程。2.给出方程的标准形式。3.推导求解过程：通过变量替换，将方程转化为可分离变量的方程。4.提供解法步骤。5.给出例子。6.相关代码（可选，若搜索到或常见解法有数值解法则提供）。7.生成相关问题。搜索词："一阶非线性齐次微分方程解法推导"或"firstordernonlinearhomogeneousdifferentialequationsolutionderivation"注意：由于用户强调推导过程，因此我们需要在答案中突出推导的步骤和数学公式。根据搜索，一阶非线性齐次微分方程的标准形式为：$$\frac{dy}{dx}=F\left(\frac{y}{x}\right)$$解法推导：令$v=\frac{y}{x}$，则$y=vx$，对x求导得：$$\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}$$代入原方程：$$v+x\frac{dv}{dx}=F(v)$$整理得：$$x\frac{dv}{dx}=F(v)-v$$分离变量：$$\frac{dv}{F(v)-v}=\frac{dx}{x}$$两边积分即可求解。因此，解答步骤如下：答案组织：1.定义方程2.变量替换步骤3.推导分离变量方程4.积分求解5.回代变量注意：用户要求不要使用“首先”，“然后”等步骤词汇，因此我们采用换行分隔每个部分。同时，为了增加实用性，我们提供一个例子。例子：求解方程$\frac{dy}{dx}=\frac{x^2+y^2}{xy}$验证齐次性：将分子分母除以x^2，得：$$\frac{dy}{dx}=\frac{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}{\frac{y}{x}}=\frac{1+v^2}{v}$$因此，令$v=y/x$，则方程变为：$$v+x\frac{dv}{dx}=\frac{1+v^2}{v}=\frac{1}{v}+v$$化简：$$x\frac{dv}{dx}=\frac{1}{v}$$分离变量：$$vdv=\frac{dx}{x}$$积分：$$\frac{1}{2}v^2=\ln|x|+C$$回代：$$\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}\right)^2=\ln|x|+C$$$$y^2=2x^2(\ln|x|+C)$$另外，注意：有些文献中非线性齐次方程可能有其他含义，但根据常见情况，以上是主流。由于用户要求解法，我们也可以提到其他非线性方程如Bernoulli方程，但用户特别指出“齐次”，所以我们主要介绍上述类型。关于代码：可以提供一个符号求解的代码（使用SymPy）和一个数值求解的示例（使用SciPy），但注意用户问题侧重推导和解析解法，代码作为补充。符号求解代码（针对上述例子）：```pythonimportsympyasspx=sp.symbols('x')y=sp.Function('y')(x)#定义方程：dy/dx=(x**2+y**2)/(x*y)eq=sp.Eq(y.diff(x),(x**2+y**2)/(x*y))#使用dsolve求解solution=sp.dsolve(eq,y)print(solution)```数值求解代码（使用ODE求解器）通常需要具体参数和初始条件，这里给一个框架。我们整合答案如下：注意：按照要求，不能将引用放在最后，所以在答案中不出现引用标记，但内容基于搜索得到的标准解法。由于不能使用第一人称，我们直接陈述。答案结构：第一部分：方程定义和形式第二部分：解法推导（核心部分，用公式展示）第三部分：解法步骤总结（步骤间换行）第四部分：示例第五部分：代码示例（可选）第六部分：相关问题现在生成答案：</think> ### 一阶非线性齐次方程的推导与解法 一阶非线性齐次微分方程的标准形式为： $$\frac{dy}{dx} = F\left(\frac{y}{x}\right)$$ 其中函数$F$是关于比值$y/x$的函数。这类方程的解法通过变量替换实现： **1. 变量替换法** 令$v = \frac{y}{x}$，则$y = vx$ 对两边求导： $$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$$ **2. 方程变换** 代入原方程： $$v + x\frac{dv}{dx} = F(v)$$ 分离变量： $$x\frac{dv}{dx} = F(v) - v$$ $$\frac{dv}{F(v) - v} = \frac{dx}{x}$$ **3. 积分求解** 两边积分： $$\int \frac{dv}{F(v) - v} = \int \frac{dx}{x}$$ 得到通解： $$G(v) = \ln|x| + C$$ 其中$G(v)$是$\frac{1}{F(v)-v}$的原函数 **4. 回代变量** 将$v = y/x$代回： $$G\left(\frac{y}{x}\right) = \ln|x| + C$$ --- ### 解法示例 求解方程：$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{xy}$ **步骤实现：** 1. 标准化：$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ 2. 令$v = y/x$，则$y = vx$ 3. 求导：$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ 4. 代入方程： $$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{1}{v} + v$$ 5. 简化： $$x\frac{dv}{dx} = \frac{1}{v}$$ $$v dv = \frac{dx}{x}$$ 6. 积分： $$\frac{1}{2}v^2 = \ln|x| + C$$ 7. 回代： $$\frac{y^2}{2x^2} = \ln|x| + C$$ $$y^2 = 2x^2(\ln|x| + C)$$ --- ### Python数值解法 使用SciPy求解非线性微分方程： ```python from scipy.integrate import solve_ivp import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 定义微分方程 dy/dx = (x² + y²)/(x*y) def diff_eq(x, y): return (x**2 + y**2)/(x*y) # 初始条件 y(1) = 1, 求解区间 [1, 5] sol = solve_ivp(diff_eq, [1, 5], [1], t_eval=np.linspace(1, 5, 100)) # 绘制解曲线 plt.plot(sol.t, sol.y[0]) plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.title('Numerical Solution of Nonlinear ODE') plt.grid(True) plt.show() ```
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