CORDIC--HLS实现

1. 背景

CORDIC(Coordinate Rotation Digital Computer)坐标旋转数字计算机是一种计算三角函数，双曲函数和其他数学函数的有效技术。CORDIC仅使用加法，减法，位移和表查找来执行简单计算，这些计算在FPGA中以及更一般地在硬件中实现是有效的。设计人员必须在结果的准确性，性能和设计的资源利用率之间进行仔细权衡。
CORDIC背后的核心思想是在二维平面中有效地执行一组矢量旋转。 通过用一些简单的控制决策使用这些旋转，我们可以执行各种基本操作，例如三角函数，双曲线函数和对数函数，实数和复数乘法，以及矩阵分解和分解。 CORDIC已广泛应用于各种应用，包括信号处理，机器人，通信和许多科学计算。 CORDIC通常用于FPGA设计，因为它的资源使用量很小。
CORDIC算法的基本目标是以有效的方式执行一系列旋转。 让我们首先考虑如何进行轮换。 在二维中，旋转矩阵是

$$R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix}$$

CORDIC使用迭代算法将矢量v旋转到某个角度目标，这取决于CORDIC正在执行的功能。 一次旋转是$v_{i} = R_{i} \cdot v_{i-1}$形式的矩阵向量乘法。 因此，在CORDIC的每次迭代中，我们执行以下操作来执行一次旋转，即矩阵向量乘法：

$$\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{i-1} \\ y_{i-1} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_i \\ y_i \\ \end{bmatrix}$$

写出线性方程，新旋转矢量的坐标是:

$$x_i = x_{i-1} \cos \theta - y_{i-1} \sin \theta\ $$
$$y_i = x_{i-1} \sin \theta + y_{i-1} \cos \theta\ $$

再次考虑旋转矩阵

$$R_{i}(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta_{i}) & -\sin(\theta_{i}) \\ \sin(\theta_{i}) & \cos(\theta_{i})\end{bmatrix}$$
$$\cos(\theta_{i}) = {\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2(\theta_{i})}}}$$
$$\sin(\theta_{i}) = \frac{\tan(\theta_{i})}{\sqrt{1 + \tan^2(\theta_{i})}}$$
我们可以得到：
$$R_i = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2(\theta_i)}} \begin{bmatrix} 1 & -\tan(\theta_i) \\ \tan(\theta_i) & 1 \end{bmatrix}$$
如果$\tan(\theta_i) = 2^{-i}$，则
$$v_i = K_i \begin{bmatrix} 1 & - 2^{-i} \\ 2^{-i} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{i-1} \\ y_{i-1} \end{bmatrix}$$
$$K_i = \frac{1}{\sqrt{1 + 2^{-2i}}}$$
使用$\sigma_i$来表示旋转的方向，则
$$v_i = K_i \begin{bmatrix} 1 & -\sigma_i 2^{-i} \\ \sigma_i 2^{-i} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{i-1} \\ y_{i-1} \end{bmatrix}$$
累积比例因子是：
$$K(n) = \prod_{i=0}^{n-1} K_i = \prod_{i=0}^{n-1}\frac {1}{\sqrt{1 + 2^{-2i}}}$$
$$K = \lim_{n \to \infty}K(n) \approx 0.6072529350088812561694$$
处理增益(processing gain)：
$$A = \frac{1}{K} = \lim_{n \to \infty} \prod_{i=0}^{n-1} {\sqrt{1 + 2^{-2i}}}\approx 1.64676025812107$$

i	$2^{-i}$	Rotating Angle	Scaling Factor	CORDIC Gain
0	1.0	$45.000^{\circ}$	1.41421	1.41421
1	0.5	$26.565^{\circ}$	1.11803	1.58114
2	0.25	$14.036^{\circ}$	1.03078	1.62980
3	0.125	$7.125^{\circ}$	1.00778	1.64248
4	0.0625	$3.576^{\circ}$	1.00195	1.64569
5	0.03125	$1.790^{\circ}$	1.00049	1.64649
6	0.015625	$0.895^{\circ}$	1.00012	1.64669

3. 计算正余弦

#include "ap_int.h"
#include "ap_fixed.h"

#define NUM_ITERATIONS 7

typedef ap_fixed<8, 2, AP_RND, AP_SAT> COS_SIN_TYPE;
typedef ap_fixed<8, 2, AP_RND, AP_SAT> THETA_TYPE;

// The file cordic.h holds definitions for the data types and constant values
#include "cordic.h"

// The cordic_phase array holds the angle for the current rotation
THETA_TYPE cordic_phase[NUM_ITERATIONS] = {45, 26.565, 14.036, 7.125,
                                           3.576, 1.790, 0.895};

void cordic(THETA_TYPE theta, COS_SIN_TYPE &s, COS_SIN_TYPE &c)
{
  // Set the initial vector that we will rotate
  // current_cos = I; current_sin = Q
  COS_SIN_TYPE current_cos = 0.60735;
  COS_SIN_TYPE current_sin = 0.0;

  // Factor is the 2^(-L) value
  COS_SIN_TYPE factor = 1.0;

  // This loop iteratively rotates the initial vector to find the
  // sine and cosine values corresponding to the input theta angle
  for (int j = 0; j < NUM_ITERATIONS; j++) {
    // Determine if we are rotating by a positive or negative angle
    int sigma = (theta < 0) ? -1 : 1;

    // Save the current_cos, so that it can be used in the sine calculation
    COS_SIN_TYPE temp_cos = current_cos;

    // Perform the rotation
    current_cos = current_cos - current_sin * sigma * factor;
    current_sin = temp_cos * sigma * factor + current_sin;

    // Determine the new theta
    theta = theta - sigma * cordic_phase[j];

    // Calculate next 2^(-L) value
    factor = factor >> 1;
  }

  // Set the final sine and cosine values
  s = current_sin;  c = current_cos;
}

此代码接近“软件”版本。它可以通过多种方式进行优化，以提高性能，减少面积。

位宽的改变