剑指offer第二版——面试题10（java）

面试题10：斐波那契数列

题目一：

写一个函数，输入n，求斐波那契数列的第n项。

定义：

(分段函数)

f(n)= 0    if n=0

f(n) = 1   if n=1

f(n) = f(n-1) + f(n-2)   if n>1

可用递归的方式，但在递归调用层级太多时，会导致调用栈溢出，且在此题中，递归方法有很多重复的计算

使用自下而上的循环实现代码

 

public class Q10 {
	public static void main(String[] args) {
		int n = 1;
		System.out.println(Fibonacci(5000));		
	}
	
	public static long Fibonacci(int n) {
		if(n<=1) {
			return n;
		}else {
			long f0=0, f1=1;
			long temp = 0;
			for(int i=2;i<=n;i++) {
				temp = f0+f1;
				f0 = f1;
				f1 = temp;
			}
			return f1;
		}
	}
}

相关题目：

扩展：

矩形覆盖——用8个2×1的小矩形无重叠地覆盖一个2×8的大矩形，总共有多少种方法

先把2×8的覆盖方法记为f(8)，用第一个1×2的小矩形去覆盖大矩形的最左边时，有两个选择（横/竖）

当竖着放时，右边还剩2×7的区域，此时记为f(7)

当横着放时：若放在左上角，则右下角必须也横着放一个1×2的小矩形，此外还剩一个2×6的区域，记为f(6)

因此f(8) = f(7) + f(6) 

可看出，此时依旧是斐波那契数列

 

 

扩展部分：

1. 一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

斐波那契数列

2. 一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

方法：

用f(n)表示青蛙跳上n阶台阶的跳法数，青蛙一次性跳上n阶台阶的跳法数，

f(0)=1;

当n = 1时，只有一种跳法，即1阶跳：f(1） =  1；

当n = 2时，有两种跳法，一阶跳和二阶跳：f(2) = f(1)+f(0) = 2;

当n  =3时，有三种跳法，第一次跳出一阶后，后面还有f(3-1)中跳法；第一次跳出二阶后，后面还有f(3-2)中跳法；第一次跳出三阶后，后面还有f(3-3)种跳法：f(3)= f(2)+f(1)+f(0) = 4

当n= n时，共有n种跳法方式，第一次跳出一阶后，后面还有Fib(n-1）种跳法；第一次跳出二阶后，后面还有Fib（n-2)种跳法，第一次跳出n阶后，后面还有Fib(n-n)种跳法。
f(n) = f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)+……+f(n-n)=f(0)+f(1)+f(2)+…….+f(n-1)

又因为f(n-1)=f(0)+f(1)+f(2)+……+f(n-2)

两式相减得：f(n)-f(n-1)=f(n-1) → f(n) = 2*f(n-1)     n >= 2

递归等式如下：