算法学习04——树(四)AVL树和旋转操作原理

树(四)——AVL树和旋转操作原理

基本概念

高度：根到其叶子的的最长路径距离，空子树的高度被规定为-1。
AVL树是带有平衡条件的二叉查询树。通常来说，一棵AVL树的每个节点的左子树和右子树的高度最多相差1。在高度为h的AVL树中，节点数最少是S(h)，S(h)可由递推关系得出：S(h)=S(h-1)+S(h-2)+1；同时S(0)=1；S(1)=2。
当进行插入操作的时候，需要更新通向根节点路径上的那些节点的所有平衡信息。而插入一个新节点有可能导致AVL树的平衡情况被破坏，需要通过旋转来修复。

旋转

可以发现一个节点，它的新平衡情况破坏了AVL条件，重新平衡这个节点将保证整个树重新满足AVL性质。
这个必须重新平衡的节点叫做α。它最多有两个儿子，所以一共有以下四种情况：

1. 对α的左儿子的左子树进行一次插入
2. 对α的左儿子的右子树进行一次插入
3. 对α的右儿子的左子树进行一次插入
4. 对α的右儿子的右子树进行一次插入

情况1和4是相同的情况，通过单旋转可以恢复平衡条件。情况2和3是相同的情况，可以通过双旋转来恢复平衡条件。

单旋转

出现1和4的情形可以使用单旋转：

如图中需要在子树1中添加节点，这会破坏4节点的平衡情况。首先，这是由于子树1的高度增加导致的平衡条件破坏，也就是子树1增加一个节点后会增加1的高度。而子树5此时和节点2的高度相差1，在子树1增加一个节点后高度差变成2。由此可见需要降低子树1的一个高度，作为代价增加子树5的一个高度，增加子树5的高度不会影响整棵树的平衡性，因为它本来就比节点2的高度少1，加一个高度的话高度差也才变成0。于是进行下图的变换：即将子树3变成4节点的左子树，2节点变成新的根节点，4节点变成2节点右子树。

这将会使子树1的高度减1，子树3的高度不变，子树5的高度加1.整理后可得：

双旋转

在2和3的情况中，插入操作发生在子树3中，经过上述的分析，单旋转无法改变子树3的高度，因此2和3的情况无法通过使用单旋转来达到平衡。在此描述双旋转的操作：

我们假设要插入的右子树有两个儿子3和5（没有儿子也没有任何关系，认为3和5是null就行），将子树3变成节点6的左子树，子树5变成节点2的右子树，2和6分别变成节点4的左右儿子。也就是4变成了新的根节点，如下：

显而易见，子树3和5降低了一个高度，子树1没有变化，子树7增加了一个高度。