优化算法-总结2

摘要：

之前写过一篇关于常见优化算法的总结，但是当时由于时间的关系，没有做太多细节的总结。这篇文章结合上一篇文章，做更加细节的总结。

梯度下降法

在优化算法里面，梯度下降法是最为核心的一个算法，我们熟知，所谓的梯度下降法就是形如下式的式：
$w^t :=w^{t-1}-\lambda\frac{\partial L}{\partial w} \tag{0}$

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这个式子的背后支撑是负梯度方向是函数值下降最快的方向。
以一个二元函数$f(x,y)$说明一下。
$f(x,y)$的方向导数为$grad(f)=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}cos\theta+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}sin\theta$
写成向量的形式==>$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}cos\theta+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}sin\theta=(\frac{\partial f(x,y)}{\partial y},\frac{\partial f(x,y)}{\partial x})(cos\theta,sin\theta)$
进一步的有：
$grad(f)=\vec{f}\cdot\vec{e}=|f||e|cos\phi$,$\phi$是两个向量的夹角。
可以看到当$cos\phi$取=1方向导数升上的最快。
当$cos\phi$取-1时，方向导数下降的最快(负梯度方向）

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举一个例子，对于线性回归问题，采用MSE做损失函数时有：
$L(y_i,\hat{y}_i)=\sum_{i=1}^m\frac{1}{2}(y_i-\hat{y}_i)^2$
==>其中$\hat{y}_i=w^Tx_i$,代入上式
==>$L(y_i,\hat{y}_i)=\sum_{i=1}^m\frac{1}{2}(y_i-w^Tx_i)^2$
==>对$w_j$求导,$\frac{\partial {L(y_i,\hat{y}_i)}}{\partial w_j}=\sum_{i=1}^m(y_i-w^Tx_i)x_j \tag 1$

对$w_j利用梯度下降迭代求解$：
$w_j:=w_j-\lambda\frac{\partial L}{\partial w_j} \tag{2}$
(1)式代入(2)有，
$w_j:=w_j-\lambda \sum_{i=1}^m(y_i-w^Tx_i)x_j \tag{3}$
可以看到，每次在迭代的时候，需要计算m条样本。一般当样本量太大时，这个方法效率不太高。所以对这里改进有以下几种梯度下降法。

1.随机梯度下降法(SGD)

随机梯度下降法一般的做法是只随机选取一条来计算梯度值，也就是(3)式简化为：
$w_j:=w_j-\lambda (y_i-w^Tx_i)x_j \tag{4}$

2.小批量批梯度下降法(Mini-batch GD)

随机k条样本来计算梯度值，(3)式简化为：
$w_j:=w_j-\lambda \sum_i^k(y_i-w^Tx_i)x_j \tag{5}$

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简单对比一下这几个方法：
对于训练速度比较：
显然，随机梯度下降每次只均匀选取一个样本来计算梯度值，训练速度自然比梯度下降法要快。
对于收敛速度比较：
随机梯度下降由于每次只选取了一个样本来计算梯度值，所以每次梯度方向可能会有很大的变化，所以收敛速度自然也慢于梯度下降法。
对于准确率比较：
随机梯度下降法每次只选取一个样本来计算平均值，导致当前梯度值只是局部的具体值，导致解可能不是局部最优的解。

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3.SAG（Stochastic Average Gradient，随机平均梯度下降法）

SAG在SGD的基础上进化而来。主要思想是这样的：
SGD每次随机选一条样本计算梯度值。
而SAG每次利用两条样本来计算梯度值，而这里两条样本不是在同一次迭代中选择的。而是前一条来自于上一次迭代（算法流程中的$y_i$)，后一条则是当前迭代（算法流程中的$f'_i(x)$）的时候选择的。具体算法流程如下：

具体参考文章：梯度下降法-知乎

4.Adagrad

下面再简单的补充几种优化算法的思想，这些优化算法大多数都是应用在神经网络的训练里面的。
Adagrad算法能够自适应地调整学习率。对于出现次数比较多的特征采用小的学习率，对于出现次数比较少的特征才用大的学习率。这里的出现次数其实应该理解成特征稀疏程度。
具体来说，按照下式进行迭代更新：
$\theta_{t+1,i}=\theta_{t,i}-\frac{\eta}{\sqrt{G_{t,i}+\epsilon}} g_{t,i}$。
$\eta$是固定设定的学习率，通常为0.01。
在每次迭代的时候会调整$\eta$，调整的因子为$\frac{1}{\sqrt{G_{t,i}}}$。
$\epsilon$是平滑项，防止分母出现0。

其中关键是$\sqrt{G_{t,i}}$的计算：
$\sqrt{G_{t,i}}$表达在第t次迭代的时候,模型的第i个参数历史梯度平方和。
比如对于参数$w_2$,第一次迭代时候$g_{1,2}=0.001$,第二次迭代时$g_{2,2}=0.004$，那么在第三次迭代时$g_{3,2}=0.003$，$\sqrt{G_{3,2}}=g_{1,2}^2+g_{2,2}^2+g_{3,3}^2$

Adagrad的问题主要体现在，随着$\sqrt{G_{t,i}}$的积累，其值不断的增大。部分特征会提前的结束训练。

牛顿法

首先我考虑只有一个变量的情况，我们对某函数$f(x)$在$x=x_0$处做二阶泰勒展开。
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2$（忽略无穷小项）

假设$x_0$出是函数$f(x)$的极小值点，我们试图通过对$f(x)$二阶泰勒展开，然后选找到下一个极小值点。这种思路就是牛顿法。

既然需要求极小值，我们对$f(x)$求导。求导后有：
$f'(x)=f'(x_0)+(x-x_0)f''(x_0)$
令导数$f'(x)=0$后有：
$f'(x_0)+(x-x_0)f''(x_0)=0$==>$x-x_0=-\frac{f'(x_0)}{f''(x_0)}$
也就是所有得迭代关系：
$x=x_0-\frac{f'(x_0)}{f''(x_0)} \tag{5}$
(5)式表达的意思为：从极小值点$x_0$出发，每迭代一次可以逼近f(x)的极小值点。

相比于梯度下降法，牛顿法用了函数$f(x)$的二阶导数值。
下面可以把牛顿法推广到多维空间上，只不过这里需要知道多元函数的二阶泰勒展开表达式：

以二元函数$f(x,y)在x_k,y_k处二阶泰勒展开$为例：
$f(x,y)=f(x_k,y_k)+f_x(x_k,y_k)(x-x_k)+f_y(x_k,y_k)(y-y_k)+\frac{1}{2}f_{xx}(x_k,y_k)(x-x_k)^2+\frac{1}{2}f_{xy}(x_k,y_k)(x-x_k)(y-y_k)+\frac{1}{2}f_{yx}(x_k,y_k)(x-x_k)(y-y_k)+\frac{1}{2}f_{yy}(x_k,y_k)(y-y_k)^2$

推广到多元函数$f(\boldsymbol{x})=f(x_1,x_2,...x_n)$写成矩阵表达式的结果

$f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x^k})+\nabla f(\boldsymbol{x}^k)\cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^k)+\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^k)\cdot\nabla ^2f(\boldsymbol{x}^k)\cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^k) \tag{6}$

把$\nabla f(\boldsymbol{x}^k)$记为$g_k$，把$\nabla ^2f(\boldsymbol{x}^k)$记为$H_k$，则(6)可以有：
$f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x^k})+g_k\cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^k)+\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^k)\cdot H_k\cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^k) \tag{6}$

下面做法和一元函数的情况一样，我们求多元函数$f(x,y)$的驻点，即对$\boldsymbol{x}$求偏导，并令偏导为0，可以得到到：
$g_k+H_k\cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^k)=0 \tag{7}$

当hessian矩阵$H_k$可逆时有：
$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^k-H^{-1}_k\cdot g_k \tag{8}$
值得注意的是，其中$-H^{-1}_k\cdot g_k$为牛顿的搜索方向，通常记为$d_k$

BFGS

通过上面的推导可以发现，牛顿法在迭代寻找解的时候需要计算hessian矩阵的逆，这个运算的代价是非常大的，所以对牛顿法进行改进工作很多都是在对求hessian矩阵下手的。比如对于BFGS算法就是一种拟牛顿法。

BFGS是以四个人的名字缩写命名的（Broyden,Fletcher,Goldfarb,Shanno)。
这里介绍一下BFGS的主要思想，详细推导过程参考本文末尾的文献。

BFGS才用迭代方式直接逼近hessian矩阵。

算法步骤2里面的$d_k=-D_k\cdot g_k$和我们前面推导的公式很类似，只是在$D$的地方一样，这里的$D就是用来近似hessian矩阵的$，其他具体计算方式为步骤6的递归关系。

参考文章

http://blog.youkuaiyun.com/itplus/article/details/21896453