斯特林公式

斯特林公式（Stirling's approximation）是一条用来取n的阶乘的近似值的数学公式。一般来说，当n很大的时候，n阶乘的计算量十分大，所以斯特林公式十分好用，而且，即使在n很小的时候，斯特林公式的取值已经十分准确。

斯特林公式在理论和应用上都具有重要的价值，对于概率论的发展也有着重大的意义。在数学分析中，大多都是利用Г函数、级数和含参变量的积分等知识进行证明或推导，很为繁琐冗长。近年来，一些国内外学者利用概率论中的指数分布、泊松分布、χ²分布证之。

或更精确的

或

公式证明：

令

 

则

 

所以

  

即

  

，即单调递减，又由积分放缩法有

 

即

  

，即

 

由单调有界定理

  

的极限存在 [1]  ，

设

 

利用Wallis公式，

 

所以

 

即

 

应用：

斯特林数判断阶乘位数
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
const double e = 2.71828182845;
const double pi = 3.1415926;
int main(void) {
int t, i, f, v;
double a, s;
const double log10_e = log10(e);
const double log10_2_pi = log10(2.0*pi)/2.0;
while (scanf("%d", &t) != EOF && t) {
for (i = 0; i < t; ++i) {
scanf("%d\n", &v);
if (1 == v) {printf("1\n"); continue;}
a = v;
s = log10_2_pi + (a+0.5)*log10(a) - a * log10_e;
f = ceil(s);
printf("%d\n", f); } }
return 0; }