不同的二叉搜索树

一、不同的二叉搜索树

给定一个整数 n，求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

思路

这里所说的时形态不同的树数量，这里需要知道Catalan数，不然一己之力我是想不出来了；

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式 [2]  ：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2)
例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5
另类递推式 [3]  ：
h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
递推关系的解为：
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)
递推关系的另类解为：
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> resV(n+1,0); 
        resV[0] = 1;
        resV[1] = 1;
        resV[2] = 2;
        int i = 3;
        while(n+1>3 && i<n+1){
            for(int k=0;k<n;k++){
                resV[i] += resV[i-1-k]*resV[k];
            }
            i++;
        }
        return resV[n];
    }
};

二、
程序转载于：Ariel_一只猫的旅行

给定一个整数 n，生成所有由 1 … n 为节点所组成的二叉搜索树。

示例:

输入: 3
输出:
[
[1,null,3,2],
[3,2,null,1],
[3,1,null,null,2],
[2,1,3],
[1,null,2,null,3]
]
解释:
以上的输出对应以下 5 种不同结构的二叉搜索树：

1 3 3 2 1
\ / / / \ \
3 2 1 1 3 2
/ / \ \
2 1 2 3

思路：

遇到的二叉树的问题都用的递归；这里主要用了分治，每个点都需要被用作根，分成两个子树每个子树在分叉，遍历每一种不同的情况。但这里也只是不按照顺序的不一样的树的形态情况，并不是所有不同值不同形态的情况，例如不存在

  1
 / \
3   2

这种情况。

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    vector<TreeNode *> generateTrees(int n) {
        if (n == 0) return {};
        return *generateTreesDFS(1, n);
    }
    vector<TreeNode*> *generateTreesDFS(int start, int end) {
        vector<TreeNode*> *subTree = new vector<TreeNode*>();
        if (start > end) subTree->push_back(NULL);
        else {
            for (int i = start; i <= end; ++i) {
                vector<TreeNode*> *leftSubTree = generateTreesDFS(start, i - 1); //leftSubTree时vector地址的指针，可以用vector的方法（start,i-1）为左子树，遍历不同的左子树组合
                vector<TreeNode*> *rightSubTree = generateTreesDFS(i + 1, end);
                for (int j = 0; j < leftSubTree->size(); ++j) {
                    for (int k = 0; k < rightSubTree->size(); ++k) {
                        TreeNode *node = new TreeNode(i);//以此为根
                        node->left = (*leftSubTree)[j]; //vector用指针取其中元素
                        node->right = (*rightSubTree)[k];
                        subTree->push_back(node);//递归，并将结果保存下来
                    }
                }
            }
        }
        return subTree;
    }
};