动态规划问题

   矩阵相乘问题:

完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：

     （1）单个矩阵是完全加括号的；

     （2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC)

       例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：(A1(A2(A3A4)))，(A1((A2A3)A4))，((A1A2)(A3A4))，((A1(A2A3))A4)，(((A1A2)A3)A4)。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。

      看下面一个例子，计算三个矩阵连乘{A1，A2，A3}；维数分别为10*100 , 100*5 , 5*50 按此顺序计算需要的次数((A1*A2)*A3):10X100X5+10X5X50=7500次，按此顺序计算需要的次数(A1*(A2*A3)):10*5*50+10*100*50=75000次

      所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小化。    

   

 int p[L]={30,35,15,5,10,20,25};

记录上面的a1,a2,a3....的值
 //p用来记录矩阵的行列，main函数中有说明
 5 //m[i][j]用来记录第i个矩阵至第j个矩阵的最优解
 6 //s[][]用来记录从哪里断开的才可得到该最优解
 7 int p[MAX+1],m[MAX][MAX],s[MAX][MAX];
 8 int n;//矩阵个数
 9 
10 void matrixChain(){
11     for(int i=1;i<=n;i++)m[i][i]=0;
12 
13     for(int r=2;r<=n;r++)//对角线循环,在这里面用来控制M[i:j]的长度

14         for(int i=1;i<=n-r+1;i++){//行循环
15             int j = r+i-1;//列的控制,是链的最后一个长度值

16             //找m[i][j]的最小值，先初始化一下，令k=i
17             m[i][j]=m[i][i]+m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];
18             s[i][j]=i;
19             //k从i+1到j-1循环找m[i][j]的最小值
20             for(int k = i+1;k<j;k++){
21                 int temp=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
22                 if(temp<m[i][j]){
23                     m[i][j]=temp;
24                     //s[][]用来记录在子序列i-j段中，在k位置处
25                     //断开能得到最优解
26                     s[i][j]=k;
27                 }
28             }
29         }
30 }
31 
举例:

当R=2时，先迭代计算出：
     m[1:2]=m[1:1]+m[2:2}+p[0]*p[1]*p[2]；
     m[2:3]=m[2:2]+m[3:3]+p[1]*p[2]*p[3];
     m[3:4]=m[3:3]+m[4][4]+p[2]*p[3]*p[4];
     m[4:5]=m[4:4]+m[5][5]+p[3]*p[4]*p[5];
     m[5:6]=m[5][5]+m[6][6]+p[4]*p[5]*p[6]的值；
     当R=3时，迭代计算出：
     m[1:3]=min(m[1:1]+m[2:3]+p[0]*p[1]*p[3],m[1:2]+m[3:3]+p[0]*p[2]*p[3]);
     m[2:4]=min(m[2:2]+m[3:4]+p[1]*p[2]*p[4],m[2:3]+m[4:4]+p[1]*p[3]*p[4]);
     ......
     m[4:6]=min(m[4:4]+m[5:6]+p[3]*p[4]*p[6],m[4:5]+m[6:6]+p[3]*p[5]*p[6]);
     ......

例如，在计算m[2][5]时，依递归式有
    所以m[2][5] = 7125，且k=3，因此，s[2][5]=3。
通过这些可以得到一个最优值:
但是怎么通过s[i][j]的到最优值呢
参考:http://blog.youkuaiyun.com/liufeng_king/article/details/8497607

参考:http://www.cnblogs.com/liushang0419/archive/2011/04/27/2030970.html