hdu6309 Absolute 容斥

最新推荐文章于 2019-12-20 16:39:41 发布

BPMThor(BPM136)

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分类专栏：容斥

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博客探讨了如何将期望问题转化为积分形式，并解决了一个涉及绝对值的积分难题。通过容斥原理，文章详细解释了如何处理绝对值，将问题转化为多个积分的求和，特别是当变量数量相对较小（如15个）时。作者还介绍了如何利用积分转换简化下界，并展示了如何处理满足偏序关系的变量。最终，通过DFS解决这个问题的方法被提出。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

既然是期望，可以化成积分形式，变成
$\int_{l_1}^{r_1} \int_{l_2}^{r_2} ...\int_{l_n}^{r_n} | x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n|dx_1 dx_2 dx_3...dx_n$
分母是 $∏i=1n(ri−li)\prod_{i=1}^n (r_i - l_i)$
然后这东西显然非常难做x
但是我们发现 $n$ 只有 $15$
我们就可以考虑容斥，但是这个绝对值让我们完全不会怎么对 $x_1, x_2, ...,x_n$ 容斥
然后租酥雨写了份详细的手写版，于是学会了
$∣ x ∣ = m a x (x, 0) - m i n (x, 0)$
我们可以设 $S_i$ 为 $x_1+...+x_n$
那么可以化为
$\int_{l_1}^{r_1}...\int_{l_n}^{r_n} max(S_n, 0) dS_n ... dS_1$
这里体会一下意思就好了，被积的东西不是很正确（但是又不太会表达，主要是要满足偏序，所以还要除以一个东西
对于 $m i n (x, 0)$ 同理
你可以对下界容斥
因为
$\frac{\int_l^r xdx}{r - l}=\frac{\int_{l - k}^{r - k} x dx + k}{r - l}$
这里直接积分就可以证明，所以我们可以把上界统一移到 $0$
因为我们容斥至少有 $K$ 个数不满足下界，也就是在 $[−∞,li][-\infin,l_i]$ 之间
那么式子就会变成
$\int_{-\infin}^{0}...\int_{-\infin}^{0} S_n + \sum_{i = 1}^n (select [i] ? r_i : l_i) dS_n ... dS_1$
这时候大力积分就会变成（因为 $S_i$ 之间要满足偏序关系，于是要除以分母）
$(∑i=1n(select[i]?ri:li))n+1(n+1)!\frac{(\sum_{i = 1}^n (select [i] ? r_i : l_i))^{n + 1}}{(n+1)!}$
然后我们就大力dfs就好了

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstring>

using namespace std;

int const mod = 998244353;

int KSM(int a, int k) {
	int ret = 1;
	for (; k; k >>= 1, a = 1ll * a * a % mod)
		if (k & 1)
			ret = 1ll * ret * a % mod;
	return ret;
}

int l[20], r[20];
int n;

void dfs(int k, int s, int f1, int f2, int& ans1, int& ans2) {
	if (k > n) {
		if (s > 0) 
			ans1 = (1ll * ans1 + 1ll * f1 * KSM(s, n + 1) % mod) % mod;
		if (s < 0) 
			ans2 = (1ll * ans2 + 1ll * f2 * KSM(-s, n + 1) % mod) % mod;
		return;
	}
	dfs(k + 1, s + l[k], -f1, f2, ans1, ans2);
	dfs(k + 1, s + r[k], f1, -f2, ans1, ans2);
}

int main() {
	cin >> n;
	int fm = KSM(n + 1, mod - 2);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		cin >> l[i] >> r[i];
		fm = 1ll * fm * KSM(r[i] - l[i], mod - 2) % mod * KSM(i, mod - 2) % mod;
	}
	int ans1 = 0, ans2 = 0;
	dfs(1, 0, 1, -1, ans1, ans2);
	cout << (1ll * (ans1 - ans2) % mod * fm % mod + mod) % mod << '\n';
}