sgu251：Polymania(构造)

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本文探讨了在特定条件下，如何通过给定点的坐标和权重，构造满足条件的三角形，重点分析了点的排列和构造逻辑，提供了解决方案及示例代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：
$~~~~~~$ 给出平面上 $n(3\leq n\leq 8)$ 个点，每个点有一个坐标 $($ 未知 $)$ 和正整数权值 $R_i$ ，其中 $R_{n-1}=R_n$ ，给出一组坐标构造，使得任意三个点构成的三角形面积为这三个点的权值和。

分析：
$~~~~~~$ 我们以最后两个有相等权值的点为基来考虑。
$~~~~~~$ 满足条件的一组构造必定满足如下条件：
$~~~~~~$ $1.$ 因为权值均为正整数，所以没有三点共线；
$~~~~~~$ $2.$ 构造必定形如：
这里写图片描述
$~~~~~~$ 即除 $R_{n-1},R_n$ 外的点必定在上或下的平行线上 $($ 证明很显然 $)$ ；
$~~~~~~$ $3.$ 在 $2$ 的基础上，在上下两条平行线上分别任取一个点，这两个点连线段必过 $R_{n-1},R_n$ 的中点。
$~~~~~~$ 综上所述，当 $n>4$ 时，一定无解；
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$ 当 $n=4$ 时，若 $R_1+R_2=R_3+R_4$ ，那么可以把 $R_1,R_2$ 上下放；
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$ 若 $R_1=R_2$ ，可以两个都放上面；
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$ 否则无解；
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$ 当 $n=3$ 时，一定有解，随便构造即可。

AC code：

#include <cstdio>
#include <cmath>
typedef double DB;
using namespace std;

const int MAXN = 5;
const DB eps = 1e-8;

int n;
DB a[MAXN];

int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("input.txt", "r", stdin);
    freopen("output.txt", "w", stdout);
    #endif

    scanf("%d", &n);
    if(n > 4) puts("NO");
    else
    {
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            scanf("%lf", a+i);
        if(n == 4)
        {
            if(fabs(a[1]+a[2]-a[3]-a[4]) > eps) 
            {
                if(fabs(a[1]-a[2]) > eps) puts("NO");
                else
                {
                    DB x3 = -10, x4 = 10, x, y;
                    y = (a[1]+a[3]+a[4])*2/(x4-x3);
                    x = (a[1]+a[2]+a[3])*2/y;
                    puts("YES");
                    printf("%.4lf %.4lf\n", -x/2, y);
                    printf("%.4lf %.4lf\n", x/2, y);
                    printf("%.4lf 0.0000\n", x3);
                    printf("%.4lf 0.0000\n", x4);
                }
            }
            else
            {
                DB x3 = -10, x4 = 10, y1, y2;
                y1 = (a[1]+a[3]+a[4])*2/(x4-x3);
                y2 = -(a[2]+a[3]+a[4])*2/(x4-x3);
                puts("YES");
                printf("0.0000 %.4lf\n", y1);
                printf("0.0000 %.4lf\n", y2);
                printf("%.4lf 0.0000\n", x3);
                printf("%.4lf 0.0000\n", x4);
            }
        }
        else
        {
            DB x2 = -10, x3 = 10, y1;
            y1 = (a[1]+a[2]+a[3])*2/(x3-x2);
            puts("YES");
            printf("0.0000 %.4lf\n", y1);
            printf("%.4lf 0.0000\n", x2);
            printf("%.4lf 0.0000\n", x3);
        }
    }

    #ifndef ONLINE_JUDGE
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    #endif
    return 0;
}