【剑指offer】1~n整数中1出现的次数

面试题43：1~n整数中1出现的次数

题目：输入一个整数 n，求 1~n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。例如，输入12，1~12这些整数中包含1的数字有1、10、11和12，1一共出现了5次。 

比较直接一点的思路，在不考虑时间效率的情况下，可以循环1~n，对每个数都先判断个位数是不是1，如果这个数大于10则除10后再判断这个数个位数是不是1，这种算法思路比较简单直接，而且算法时间复杂度也不符合要求O(nlogn)，就不展开详细解释。

function NumberOf1(n){
    let number = 0;
    while(n){
        if(n%10 == 1)
            number++;

        n = n/10;
    }
    return number;
}

function Count(n){
    let sum = 0;
    for(let i = 1; i <= n; i++)
        sum += NumberOf1(i);
    return sum;
}

《剑指Offer》给出了提高时间效率的解法，但是代码十分繁琐，时间复杂度为O(logn)，与数字的位数有关，而且不易于理解。这时候看到了一个大佬的解法，代码来自国外leetcode上的一个解答，核心代码只有短短的三行就解决了这个问题，时间复杂度也是O(logn)，不得不说大佬牛x。我花了一定的时间进行了查找资以及分析，把代码稍微扩展成我能理解的方式，在这里记录下我的思路。

国外大佬的解答：

class Solution {
public:
    int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)
    {

        int count=0;
        long long i=1;
        for(i=1;i<=n;i*=10)
        {
            //i表示当前分析的是哪一个数位
            int a = n/i,b = n%i;
            count=count+(a+8)/10*i+(a%10==1)*(b+1);
        }
        return count;
    }
};

主要思路：设定整数点（如1、10、100等等）作为位置点i（对应n的个位、十位、百位等等），分别对每个数位上有多少包含1的点进行分析。每个整数点都仅仅针对当前位（个位、十位、百位、千位等）计算包含1的个数，不考虑其他位上1的情况。

当 i = 1，就从个位开始，就计算从1~n，个位上出现了几次1。

当 i = 10，就从十位开始，就计算1~n，十位上出现了几次1。

当 i = 100，从百位开始，就计算1~n，百位上出现了几次1。

以此类推。

然后把他们全部加起来，就得到了1~n上所有位数出现的1的次数总和。

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这里假定一种情况来讨论，其他相似类推就行了，本质上计算方法一样的。这里假设  i = 100 ，即当 i 表示百位的时候，求 1~n 百位上出现1的总次数。

根据设定的整数位置，对n进行分割，分为两部分，高位n/i，低位n%i。

分三种情况讨论即：

（1）百位大于等于2

（2）百位等于1

（3）百位等于0

(1) 当百位的情况大于等于2 (n = 31456, i = 100)

当 n = 31456，a = 314（a为高位，百位和百位之前的数），b = 56（b为低位，百位之后的数），当前百位的数字为 4 >= 2，百位出现1的次数为 a/10+1，分别为 001，011，021，031，041，051，061，071，081，091，101...301，311共32次（000~314）。只考虑百位为 1 的情况，百位的 1 出现了 32 次，算上低位每次1-100的完整循环，1-n上百位共出现了 (a/10+1)*100 次个1。(31+1)*100 = 3200次

(2) 当百位的情况等于 1 (n = 31156, i = 100)

当 n = 31156，百位的情况等于 1 的时候，有 a = 311, b = 56，此时百位对应的就是1，则百位出现的次数为a/10，分别为 001，011，021，...301 共 31 次（000-309），当最高两位为31（即a=311），本次没有完整的1-100的循环，因为低位最多只到56为止，所以共b+1次 = 56+1 = 57次（算上 b = 0 的时候），1-n 百位1共出现了（a/10*100）+(b+1)  = （31*100）+57 = 3157 次

（3）当百位的情况等于 0 的时候

当 n = 31056，a = 310,b = 56的时候，百位对应的数为0，此时百位为1的次数有a/10=31（最高两位0~30）。所以出现1的次数为 (a/10*100) = 31*100 = 3100 次

综合以上三种情况，依次从个位、十位、百位...开始遍历到最高位，把每一位出现1的次数进行累计求和即是最终的结果。

function getNumberOf1 (n) {
    let digit = 1 // 当前遍历的位，从各位开始
    let res = 0   // 统计1出现的总数

    let high = Math.floor(n/10), cur = n % 10, low = 0

    while(high != 0 || cur !=0 ) {
        if(cur == 0) res += high * digit
        else if(cur == 1) res += high * digit + low + 1
        else res += (high + 1) * digit

        low += cur * digit
        cur = high % 10
        high = Math.floor(high/10)
        digit *= 10
    }
    return res
}