Logistic Regression分类器与softmax分类器

1. 两类Logistic回归

Logistic回归是一种非常高效的分类器。它不仅可以预测样本的类别，还可以计算出分类的概率信息。

不妨设有n个训练样本{x1,...,xn}，xi是d维向量，其类别标签是{y1,...,yn}。对于一个c类问题，yi∈{1,2,...,c}。Logistic回归学习这样一个函数

f(x)=g(θTx)=11+e−θTx(1)

其中，

g(z)=11+e−z(2)

被称为Logistic函数或者Sigmoid函数。

设x=[x(1),...,x(d)]T。实际上，θTx这儿应该写成θ0+θTx（θ是d维向量），要有个常数项。但是为了方便，我们设x(0)=1，所以θ0+θTx可以直接写作θTx，而此处的θ是d+1维向量，即θTx=∑dj=0θjx(j)。

可以看出来，当z无穷大时，g(z)趋于1；当z无穷小时，g(z)趋于0；当z=0时，g(z)=0.5。 g(z)的值域是[0,1]，所以f(x)的值域也是[0,1]。

首先我们考虑2类问题，设

P(y=1|x,θ)=f(x)(3)

即对于给定的样本x，其属于类别1的概率是f(x)。则属于类别0的概率是

P(y=0|x,θ)=1−f(x)(4)

上述概率也可以写作

P(y|x,θ)=f(x)y(1−f(x))1−y(5)

Logistic回归具有如下的特点。一个事件发生的机率（odds）定义为事件发生的概率与不发生的概率的比值。设p=P(y=1|x,θ)，那么事件的机率是p1−p。其对数函数是

logp1−p=logP(y=1|x,θ)1−P(y=1|x,θ)=θx(6)

可以看出，输出类别1的对数机率是输入x的线性函数。

此外，后验概率也可以写作如下形式：

P(y=1|x,θ)=eθTx1+eθTxP(y=0|x,θ)=11+eθTx(7)

(这与下文将到的多类形式一致)

学习or训练的过程就是通过训练数据，来求解出最优的参数θ。而预测的方法是计算后验概率P(y|x,θ)，如果大于0.5，则预测为类别1；否则为类别0。

以下使用极大似然估计方法来求解参数。参数θ的似然函数是：

L(θ)=∏i=1nP(yi|xi,θ)=∏i=1nf(xi)yi(1−f(xi))1−yi(8)

最大化似然函数往往比较困难，可以通过最大化对数似然函数来求解。θ的对数似然函数是：

ℓ(θ)=logL(θ)=log∏i=1nf(xi)yi(1−f(xi))1−yi=∑i=1nlogf(xi)yi(1−f(xi))1−yi=∑i=1nyilogf(xi)+(1−yi)log(1−f(xi))(9)

实际上，代价函数的形式是：

J(θ)=−1n∑i=1nyilogf(xi)+(1−yi)log(1−f(xi))(10)

所以最小化代价函数就等价于最大化似然估计。

可以通过梯度下降法来求解l(θ)的极大值。即

θ:=θ+α∇θℓ(θ)(11)

∂∂θjℓ(θ)=∂∂θj∑i=1nyilogg(θTxi)+(1−yi)log(1−g(θTxi))=∑i=1n(yi1g(θTxi)−(1−yi)11−g(θTxi))∂∂θjg(θTxi)=∑i=1n(yi1g(θTxi)−(1−yi)11−g(θTxi))g(θTxi)(1−g(θTxi))∂∂θjθTxi=∑i=1n(yi(1−g(θTxi))−(1−yi)g(θTxi))x(j)i=∑i=1n(yi−f(xi))x(j)i(12)

x(j)i是第i个样本的第j个特征。

所以，对于参数θ向量中的任一元素θj，迭代方式如下:

θj:=θj+α∑i=1n(yi−f(xi))x(j)i(13)

如此，便可将全部参数求解出来。

此外，Logistic回归的求解也可以采用Newton迭代法等。

2. 正则化
在机器学习中，正则化是非常常用的方法。它用来约束模型的参数，使得求解出来的参数不会太大（模型不能过于复杂），以防止过拟合。

Logistic回归经常加入ℓ1正则或者ℓ2正则。参数求解的问题转变为：

argmaxθℓ(θ)−α∥θ∥2(14)

3. 多类情况

%可以换一种角度来理解Logistic回归。一个事件发生与不发生的比值被称为机率（odds）。假设发生的概率是p，那么发生的几率是p/(1−p)。几率越大，发生的可能性越大。

面向多类分类问题的Logistic回归，也叫softmax regression。假设是一个c类问题，则类别标签yi∈{1,...,c}。 使用one-vs-all策略可以将两类分类器扩展为多类分类器，即将选取任意一类，再将其它所有类看成是一类，构建一个两类分类器，这样一共需要c个分类器。

定义

P(y=1|x)P(y=2|x)P(y=c|x)=eθT1x∑ck=1eθTkx=eθT2x∑ck=1eθTkx...=eθTcx∑ck=1eθTkx(15)

该模型有这样一个性质，对于所有参数θi，加上一个向量v，后验概率的值不变。即

e(θ1+v)Tx∑ck=1e(θk+v)Tx=eθT1x+vTx∑ck=1eθTkx+vTx=eθT1xevTx∑ck=1eθTkxevTx=eθT1x∑ck=1eθTkx(16)

我们设v=θc, 则新的参数为

θ1=θ1−θc...θc−1=θc−1−θcθc=0(17)

则多类Logistic回归模型可写作

P(y=1|x)P(y=c−1|x)P(y=c|x)=eθT1x1+∑c−1k=1eθTkx...=eθTc−1x1+∑c−1k=1eθTkx=11+∑c−1k=1eθTkx(18)

加入正则项后的代价函数可以表述为

J(θ)=−1m(∑i=1n∑k=1c1{yi=k}logθkxi∑cl=1θTlxi)(19)

其中，1{yi=k}是指示函数，若yi=k为真，则等于1，否则等于0。

对于参数的求解，与两类问题的求解方法一样。