BZOJ4162: shlw loves matrix II

4162: shlw loves matrix II
如果我们已知矩阵$A$的特征多项式$p(x)$,其最高次数为$k$,由哈密尔顿－凯莱定理得知
$$p(A)=a_0{A}^n+a_1{A}^{n-1}+\cdots +a_k{A}^{n-k}=0$$
显然$a_0=1$,那么
$$A^n=a_1{A}^{n-1}+\cdots +a_k{A}^{n-k}$$
我们就可以把一个高次项拆成若干次数较小的项,再拆拆拆拆成$k-1$项,显然$k$是$O(n)$级别的,然后我们求出$A^0$到$A^{k-1}$就可方便地计算出答案.
考虑怎么计算特征多项式.
满足$A=PB{P}^{-1}$的两个矩阵$A,B$互为相似矩阵,它们的特征多项式相同,因此我们先把矩阵变换到如下形式(左下方是全为$0$的三角),变换的时候记得左右乘两个互逆的初等矩阵:
$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \cdots & a_{2,n}\\ 0& a_{3,2}& \cdots & a_{3,n}\\ 0& 0& \cdots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{n,n}\end{array}\right]$$
然后设$B_i$为以$A_{i,i}$为左上端点,$A_{n,n}$为右下端点的矩阵,设$f_i$为$B_i$的行列式,考虑对$B$横着的第一行展开,我们可以得到:
$f_i=A_{i,i}{f}_{i+1}+(A_{i+1,i})A_{i,i+1}{f}_{i+2}+(A_{i+1.i}{A}_{i+2,i+1})A_{i,i+2}{f}_{i+3}+\dots$
然后就可以愉快地递推了.
设指数为$T$,总时间复杂度为$O(n^4+n^{2}logT)$