[kuangbin带你飞]数论基础的简单题解

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打星题还没做

Problem A

LightOJ 1370 Bi-shoe and Phi-shoe

欧拉函数+枚举。令k = lucky number+1开始枚举k，直到lucky number $\leq \varphi(k)$

Problem B

LightOJ 1356 Prime Independence

*质因数分解+最大独立集。大致的想法是把冲突的2个数连一条边，然后把所有数分成质因子个数（例如8有3个质因子：2,2,2）为奇和偶两部分，以质因子个数为奇为偶构建一个二分图，那么质因子个数同奇或同偶的数一定不是另外一个数的质数倍。

Problem C

LightOJ 1341 Aladdin and the Flying Carpet

质因数分解求约数个数。$n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_s^{a_s},$ 那么n的约数个数 $num(n)=(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_s+1)$.
详解及代码可查看http://blog.youkuaiyun.com/qq_15714857/article/details/48558963

Problem D

LightOJ 1336 Sigma Function

判断约数之和奇偶性。一个数$n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_s^{e_s}$的约数之和

$$sum(n)=\frac{p _1^{e _1+1}-1}{p _1-1} \frac{p _2^{e _2+1}-1}{p _2-1} \cdots \frac{p _s^{e _s+1}-1}{p _s-1}$$
也等于
$$sum(n)=(p _1^0 + p _1^1 + \cdots p _1^{e _1})(p _2^0 + p _2^1 + \cdots p _2^{e _2}) \cdots (p _s^0 + p _s^1 + \cdots p _s^{e _s})$$
可以发现，若 $p_i=2$ 则 $(p _i^0 + p _i^1 + \cdots p _i^{e _i})$ 一定为奇数；
若 $p_i\not=2$ 则 $(p _i^0 + p _i^1 + \cdots p _i^{e _i})$ 只有在 $e_i$ 为偶数时为奇数；
同时，只要任意一个 $(p _i^0 + p _i^1 + \cdots p _i^{e _i})$ 为偶数，那么约数之和一定是偶数；反之，若约数之和为奇数，那么除了2之外所有 $e_i$ 都为偶数，n 一定是 $x^2$ , $2^x$ 或 $2*x^2$ 的形式，而 $2^x$ 显然包含在另外两者之中，所以我们减去 $x^2$ , $2*x^2$ 形式的数字即可。
很明显，n 以内 $x^2$ 形式的数有 $\sqrt n$ 个 ， $2*x^2$ 形式的数字有 $\sqrt (n/2)$个，答案即是 $n-\sqrt n-\sqrt(n/2)$

Problem E

LightOJ 1282 Leading and Trailing

输出一个数的前k位与后k位。前k位利用log10，后k位利用mod10，详解与代码：http://blog.youkuaiyun.com/qq_15714857/article/details/48559687

Problem F

LightOJ 1259 Goldbach`s Conjecture

筛素数+枚举。计算一个数可以被表示成两个素数之和的方案数，预处理出n以内的数是否是素数即可。

Problem G

LightOJ 1245 Harmonic Number (II)

long long H( int n ) {
    long long res = 0;
    for( int i = 1; i <= n; i++ )
        res = res + n / i;
    return res;
}

当除数越大时，所得商就基本不变，那么我们把$\sqrt n$ 之前的值正常累加，后面的值累计商*商的个数即可，商的个数等于n/商-n/（商+1）。

Problem H

LightOJ 1236 Pairs Forming LCM

统计lcm(i,j)==n的二元组，1<=i<=j<=n.
http://blog.youkuaiyun.com/qq_15714857/article/details/48641121

Problem I

LightOJ 1234 Harmonic Number

计算调和数。数学好的话直接用欧拉常数来计算。。euler = 0.5772156649015328606，答案大致等于 log(n) + euler + 1.0 / ( 2 * n ) - 1.0 / ( 12 * n^2 ) + 1.0 / ( 120 * n^4 )，当然这里前三项就够了。也可以分段计算，把n分成100项为一组先预处理出答案，再计算剩余的。

Problem J

LightOJ 1220 Mysterious Bacteria

设 $x = b^p$ 已知 x , 求最大的 p 。
枚举b即可。。但要注意x若为负数的话要求p必须为奇数。

Problem K

LightOJ 1214 Large Division

高精度计算一个数能否被另一个数整除。怕麻烦用java，不怕的话模拟一下ans = ( 10 * ans + ( a[i] - '0' ) ) % b ，后者必前者快三十多倍。

Problem L

LightOJ 1213 Fantasy of a Summation

找规律。
ans = k * sum % MOD * fast_pow( n , k - 1 , MOD ) ;

Problem M

LightOJ 1197 Help Hanzo

区间筛素数裸题。

Problem N

LightOJ 1138 Trailing Zeroes (III)

n! 尾部有q个0，求最小n。阶乘结果分解成质因数幂相乘之后，尾部0的个数就等于5的幂，故x! 尾部有 x/5 + x/25 + x/125 + x/625 +… 个零 ，二分答案即可。

Problem O

UVA 11426 GCD - Extreme (II)

输入n，求

$$gcd(1,2)+gcd(1,3)+gcd(2,3)+...+gcd(n-1,n)$$

大白书例题。

设

$$f(n)=\gcd(1,n)+\gcd(2,n)+...+\gcd(n-1,n)$$ 那么答案 $S(n) = f(1)+f(2)+...+f(n)$。

$\gcd(x,n)$的值均为n的约数，枚举n的约数i，
$\gcd(x,n)=i$ 则 $\gcd(x/i,n/i)=1$，
故满足条件的 x/i 有 $\varphi$(n/i)个。那么

$$f(n)=\sum_{i|n}\varphi(n/i)*i$$

Problem P

UVA 11754 Code Feat

*大白书例题，dfs+CRT。

Problem Q

UVA 11916 Emoogle Grid

*大白书例题，离散对数。

Problem R

POJ 1061 青蛙的约会

模线性方程。简而言之就是求解

$$(m-n)*t=(x-y)\mod L$$

Problem S

POJ 2115 C Looooops

模线性方程。简而言之就是求解

$$c*x=(b-a)\mod 2^k$$

Problem T

POJ 2116 Death to Binary?

*fibonacci+模拟。巨麻烦的模拟题。。

Problem U

HDU 2161 Primes

素性检测裸题。

Problem V

UVA 11827 Maximum GCD

输入处理+暴力。

Problem W

UVA 10200 Prime Time

预处理一下然后直接查询。。

Problem X

SGU 106 The equation

扩展欧几里得的应用。
很好的题解 ：
http://www.cnblogs.com/Rinyo/archive/2012/11/25/2787419.html
求解 $ax+by+c=0$ 在指定区间内的整数解 ，我们可以考虑 $ax+by=c$ 在指定区间内的整数解 , 当 $b\not| \ \gcd(a,b)$ 显然无解。
令 $d= \gcd(a,b)$ 我们就可以把原方程转化为

$$a/d*x+b/d *y=c/d$$ 然后通过扩展gcd便可得到一组可行解 $(x_0,y_0)$，则其余解即为 $x=x0+kb,y=y0-ka$，结合约束条件即可得到答案。

Problem Y

POJ 2478 Farey Sequence

$F(n)=F(n-1)+\varphi(n)$

Problem Z

UVA 11752 The Super Powers

枚举+筛素数。
令$x=a^n$ ，预处理每一个数是否是素数，当 n 不是一个素数也不是1的时候，n 即可分解，x 便符合题意。