《剑指offer》14--剪绳子（整数拆分）[C++]

题目描述

把一根绳子剪成多段，并且使得每段的长度乘积最大。

给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。

示例 1:

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。

贪心算法

设n分成k份时乘积最大，则要令d (n/k)^k / dk等于零，或令d k*log(n/k) / dk等于零。求出来k=n/e，所以每份应尽量接近e=2.7，因此尽量凑3。

尽可能多剪长度为 3 的绳子，并且不允许有长度为 1 的绳子出现。如果出现了，就从已经切好长度为 3 的绳子中拿出一段与长度为 1 的绳子重新组合，把它们切成两段长度为 2 的绳子。

证明：当 n >= 5 时，3(n - 3) - n = 2n - 9 > 0，且 2(n - 2) - n = n - 4 > 0。因此在 n >= 5 的情况下，将绳子剪成一段为 2 或者 3，得到的乘积会更大。又因为 3(n - 3) - 2(n - 2) = n - 5 >= 0，所以剪成一段长度为 3 比长度为 2 得到的乘积更大。

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        if(n < 2) return 0;
        if(n == 2) return 1;
        if(n == 3) return 2;
        int T3 = n/3;
        if(n%3 == 1) T3--;
        int T2 = (n-T3*3)/2;
        return ((int)pow(3,T3))*((int)pow(2,T2));
    }
};

动态规划

因为拆分结果在2和3之间取舍，所以动态规划可以进一步的道具简化

class Solution {
public:
    int dp[60];    
    int integerBreak(int n) {
        dp[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=i/2/* && j<=3*/;j++) dp[i]= max((i-j)*j,max(dp[i-j]*j,dp[i]));     
        return dp[n];
    }
};