8.1 字串距离

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#扩展 #output #input #算法 #任务 #bi

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本文介绍了一种计算两个字符串间距离的方法，通过将字符串扩展并利用动态规划算法找到最小距离。涉及字符串处理、动态规划等核心算法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

8.1 字串距离

源程序名 blast.???（pas, c, cpp）

可执行文件名 blast.exe

输入文件名 blast.in

输出文件名 blast.out

【问题描述】

设有字符串X，我们称在X的头尾及中间插入任意多个空格后构成的新字符串为X的扩展串，如字符串X为”abcbcd”，则字符串“abcb□cd”，“□a□bcbcd□”和“abcb□cd□”都是X的扩展串，这里“□”代表空格字符。

如果A1是字符串A的扩展串，B1是字符串B的扩展串，A1与B1具有相同的长度，那么我扪定义字符串A1与B1的距离为相应位置上的字符的距离总和，而两个非空格字符的距离定义为它们的ASCII码的差的绝对值，而空格字符与其他任意字符之间的距离为已知的定值K，空格字符与空格字符的距离为0。在字符串A、B的所有扩展串中，必定存在两个等长的扩展串A1、B1，使得A1与B1之间的距离达到最小，我们将这一距离定义为字符串A、B的距离。

请你写一个程序，求出字符串A、B的距离。

【输入】

输入文件第一行为字符串A，第二行为字符串B。A、B均由小写字母组成且长度均不超过2000。第三行为一个整数K（1≤K≤100），表示空格与其他字符的距离。

【输出】

输出文件仅一行包含一个整数，表示所求得字符串A、B的距离。

【样例】

blast.in blast.out

cmc 10

snmn

【算法分析】

字符串A和B的扩展串最大长度是A和B的长度之和。如字符串A为“abcbd”，字符串B为“bbcd”，它们的长度分别是l_a=5、l_b=4，则它们的扩展串长度最大值为L_A+L_B=9，即A的扩展串的5个字符分别对应B的扩展串中的5个空格，相应B的扩展串的4个字符对应A的扩展串中的4个空格。例如下面是两个字符串的长度为9的扩展串：

a□b c□b□d□

□b□□b□c□d

而A和B的最短扩展串长度为l_a与l_b的较大者，下面是A和B的长度最短的扩展串：

a b cbd

b□bcd

因此，两个字符串的等长扩展串的数量是非常大的，寻找最佳“匹配”（对应位置字符距离和最小）的任务十分繁重，用穷举法无法忍受，何况本题字符串长度达到2000，巨大的数据规模，势必启发我们必须寻求更有效的方法：动态规划。

记<A₁, A₂, …, A_i>为A串中A₁到A_i的一个扩展串，<B₁, B₂, …, B_j>为B串中B₁到B_j的一个扩展串。这两个扩展串形成最佳匹配的条件是（1）长度一样；（2）对应位置字符距离之和最小。

首先分析扩展串<A₁, A₂, …, A_i>与扩展串<B₁, B₂, …, B_j>长度一样的构造方法。扩展串<A₁, A₂, …, A_i>与扩展串<B₁, B₂, …, B_j>可以从下列三种情况扩张成等长：

（1）<A₁, A₂, …, A_i>与<B₁, B₂, …, B_j_-1>为两个等长的扩展串，则在<A₁, A₂, …, A_i>后加一空格，<B₁, B₂, …, B_j_-1>加字符B_j；

（2）<A₁, A₂, …, A_i_-1>与<B₁, B₂, …, B_j>为两个等长的扩展串，则在<A₁, A₂, …, A_i_-1>添加字符A_i，在<B₁, B₂, …, B_j>后加一空格；

（3）<A₁, A₂, …, A_i_-1>与<B₁, B₂, …, B_j_-1>为两个等长的扩展串，则在<A₁, A₂, …, A_i_-1>后添加字符A_i，在<B₁, B₂, …, B_j_-1>后添加字符B_j。

其次，如何使扩展成等长的这两个扩展串为最佳匹配，即对应位置字符距离之和最小，其前提是上述三种扩展方法中，被扩展的三对等长的扩展串都应该是最佳匹配，以这三种扩展方法形成的等长扩展串(A₁, A₂, …, A_i>和<B₁, B₂, …, B_j>也有三种不同情形，其中对应位置字符距离之和最小的是最佳匹配。

为了能量化上述的构造过程，引入记号g[i, j]为字符串A的子串A₁, A₂, …, A_i与字符串B的子串B₁, B₂, …, B_j的距离，也就是扩展串<A₁, A₂, …, A_i>与扩展串<B₁, B₂, …, B_j>是一个最佳匹配。则有下列状态转移方程：

g[i, j]=Min{g[i-1, j]+k, g[i, j-1]+k, g[i-1, j-1]+ } 0≤i≤L_a 0≤j≤L_b

其中，k位字符与字符之间的距离；为字符a_i与字符b_i的距离。

初始值：g[0, 0]=0 g[0, j]=j·k g[i, 0]=i·k

var f:array[0..2000,0..2000] of longint;
a,b:ansistring;
n,m,i,j,k,l1,l2,sum:longint;
function min(x,y,w,z:longint):longint;
begin
 if x>y then x:=y; if x>w then x:=w;
 if x>z then x:=z; exit(x);
end;
begin
 assign(input,'blast.in'); assign(output,'blast.out');
 reset(input); rewrite(output);
 readln(a); readln(b);
 readln(k); l1:=length(a); l2:=length(b);
 for i:=1 to l1 do f[i,0]:=f[i-1,0]+k;
 for i:=1 to l2 do f[0,i]:=f[0,i-1]+k;
 for i:=1 to l1 do
  for j:=1 to l2 do
   f[i,j]:=maxlongint;
 for i:=1 to l1 do
  for j:=1 to l2 do
   f[i,j]:=min(f[i-1,j-1]+abs(ord(a[i])-ord(b[j])),f[i-1,j]+k,f[i,j-1]+k,f[i,j]);
 writeln(f[l1,l2]);
 close(input); close(output);
end.