向量在计算机图形学中的核心应用-优快云博客

向量数学是计算机图形学的基石，贯穿从几何建模到最终渲染的每一个环节。以下是针对图形学领域的重点补充：

一、图形学特有的向量表示与运算

1.1 齐次坐标（Homogeneous Coordinates）

扩展维度：三维点/向量用四维表示，如点(x,y,z,1)(x,y,z,1)，方向向量(x,y,z,0)(x,y,z,0)
统一变换：将平移、旋转、缩放统一为矩阵乘法
透视变换：方便实现投影变换，w分量用于透视除法
区分点与方向：w=0时为方向向量（不受平移影响），w=1时为点

1.2 颜色向量

RGBA表示：颜色通常表示为四维向量(r,g,b,a)(r,g,b,a)
颜色运算：颜色混合、光照计算使用向量运算
色域转换：通过矩阵乘法实现RGB到其他色彩空间的转换

二、几何处理中的向量应用

2.1 表面法线计算

cpp

// 三角形法线计算：叉积标准化
Vector3 ComputeTriangleNormal(Vector3 p0, Vector3 p1, Vector3 p2) {
    Vector3 u = p1 - p0;
    Vector3 v = p2 - p0;
    Vector3 normal = CrossProduct(u, v);
    return Normalize(normal);
}

2.2 顶点法线平均

光滑表面：共享顶点的面法线加权平均
硬边：为同一几何位置存储不同法线（顶点复制）

2.3 碰撞检测

分离轴定理：使用点积测试凸体相交
射线与三角形求交：Möller-Trumbore算法（基于向量）
包围体测试：AABB、OBB、球体的快速剔除

三、变换与坐标系统

3.1 变换矩阵的向量基础

text

模型变换矩阵 = 缩放 × 旋转 × 平移
View Matrix = [Right, Up, Forward, Position]^T

3.2 坐标空间转换

模型空间 → 世界空间 → 观察空间 → 裁剪空间 → 屏幕空间
法线变换：使用逆转置矩阵保持垂直性
切线空间：用于法线贴图，TBN矩阵(Tangent, Bitangent, Normal)

3.3 视锥体裁剪

平面方程：n⃗⋅p⃗+d=0n⋅p+d=0
点积判断：n⃗⋅p⃗+d>0n⋅p+d>0 表示在平面前方

四、光照与着色

4.1 经典光照模型

glsl

// Phong光照模型中的向量计算
vec3 L = normalize(lightPos - fragPos);  // 光线方向
vec3 N = normalize(normal);              // 法线
vec3 V = normalize(viewPos - fragPos);   // 视线方向
vec3 R = reflect(-L, N);                 // 反射方向

float diff = max(dot(N, L), 0.0);        // 漫反射
float spec = pow(max(dot(V, R), 0.0), shininess); // 镜面反射

4.2 BRDF（双向反射分布函数）

基于向量的微表面理论
Cook-Torrance模型：法线分布、几何遮蔽、菲涅尔项
各向异性BRDF：考虑切线方向

4.3 环境光遮蔽

法线半球积分
屏幕空间环境光遮蔽（SSAO）：基于深度和法线缓冲区

五、纹理与UV映射

5.1 纹理坐标插值

重心坐标：P⃗=αA⃗+βB⃗+γC⃗P=αA+βB+γC
透视正确插值：需要在裁剪空间进行插值

5.2 法线贴图

切线空间法线：(0,0,1)(0,0,1)表示与表面法线对齐
世界空间转换：Nworld=TBN×NtangentNworld=TBN×Ntangent

5.3 视差映射与浮雕映射

高度场偏移：基于视线方向与法线的点积
光线步进方向：沿观察向量的切平面分量

六、几何着色与曲面细分

6.1 贝塞尔曲线/曲面

控制点：向量数组
de Casteljau算法：递归线性插值
法线计算：参数曲面的偏导数叉积

6.2 曲面细分

PN三角形：基于顶点位置和法线生成平滑曲面
置换贴图：沿法线方向偏移顶点：P′=P+h⋅NP′=P+h⋅N

七、屏幕空间技术

7.1 深度缓冲

深度值归一化：透视除法后的z值
深度比较：用于遮挡测试

7.2 屏幕空间反射（SSR）

视线向量：从相机到像素
反射向量计算：R=I−2(I⋅N)NR=I−2(I⋅N)N
射线步进：在屏幕空间追踪反射光线

7.3 屏幕空间阴影（SSS）

光线方向到光源
深度比较判断遮挡

八、物理模拟相关

8.1 刚体动力学

cpp

// 角速度更新
Vector3 torque = CrossProduct(forcePoint - centerOfMass, force);
Vector3 angularAcceleration = inverseInertiaTensor * torque;
angularVelocity += angularAcceleration * dt;

// 旋转更新（四元数表示）
Quaternion rotationDelta = Quaternion(angularVelocity * dt);
orientation = Normalize(rotationDelta * orientation);

8.2 粒子系统

位置更新：pnew=pold+v⋅dtpnew=pold+v⋅dt
速度更新：vnew=vold+a⋅dtvnew=vold+a⋅dt
力场：重力、风力、涡旋场等

8.3 流体模拟（简化）

速度场：每个网格点存储速度向量
平流项：u⋅∇uu⋅∇u
压力梯度：∇p∇p

九、着色器编程优化

9.1 向量化运算

SIMD优化：一次操作处理多个分量
GLSL/HLSL内置函数：dot(), cross(), normalize(), reflect(), refract()
着色器中的分支优化：基于向量运算避免if语句

9.2 近似计算

快速标准化：rsqrt近似
小角度近似：sin⁡θ≈θsinθ≈θ，cos⁡θ≈1cosθ≈1
反射向量近似：避免reflect()函数的开销

十、现代图形API中的向量

10.1 数据布局

cpp

// 顶点数据结构（内存对齐优化）
struct Vertex {
    Vector3 position;  // 位置
    Vector3 normal;    // 法线
    Vector2 texcoord;  // 纹理坐标
    Vector3 tangent;   // 切线（法线贴图用）
    // 16字节对齐优化
};

10.2 计算着色器中的向量

GPU上的并行向量运算
波前（Wavefront）级别的向量操作
共享内存中的向量数据交换

10.3 光线追踪中的向量

cpp

// 光线结构
struct Ray {
    Vector3 origin;
    Vector3 direction;
    float t_min, t_max;
};

// 光线-球体求交
bool IntersectSphere(Ray ray, Sphere sphere) {
    Vector3 oc = ray.origin - sphere.center;
    float a = Dot(ray.direction, ray.direction);
    float b = 2.0 * Dot(oc, ray.direction);
    float c = Dot(oc, oc) - sphere.radius * sphere.radius;
    float discriminant = b*b - 4*a*c;
    return discriminant >= 0;
}