数塔

hduoj2084,数塔，DP经典

分类： 动态规划 2012-10-15 09:21 156人阅读 评论(0) 收藏 举报

数塔

在讲述DP算法的时候，一个经典的例子就是数塔问题，它是这样描述的：
有如下所示的数塔，要求从顶层走到底层，若每一步只能走到相邻的结点，则经过的结点的数字之和最大是多少？

已经告诉你了，这是个DP的题目，你能AC吗?
 
Input
输入数据首先包括一个整数C,表示测试实例的个数，每个测试实例的第一行是一个整数N(1 <= N <= 100)，表示数塔的高度，接下来用N行数字表示数塔，其中第i行有个i个整数，且所有的整数均在区间[0,99]内。
 
Output
对于每个测试实例，输出可能得到的最大和，每个实例的输出占一行。
 
Sample Input
1
5
7
3 8
8 1 0 
2 7 4 4
4 5 2 6 5
 
Sample Output
30

分析：

算法分析：

分析：此题采用动态规划自底向上计算，如果我们要知道所走之和最大，那么最后一步肯定是走最后一排数其中一个，向上退，倒数第二步肯定走最后一排数对应的倒数第二排最大的一个（将最后对应最后步走的最大的数加起来存在倒数第二步的数组中）再向上推，一直推到最上面的第0布，那么b[0][0]最后所存的结果一定是最大的。
分析：站在位置9，我们可以选择沿12方向移动，也可以选择沿着15方向移动，现在我们假设“已经求的”沿12方向的最大值x和沿15方向的最大值y，那么站在9的最大值必然是：Max(x,y) + 9。
因此不难得出，对于任意节点i,其状态转移方程为：m[i] = Max(a[i的左孩子] , a[i的右孩子]) + a[i]
首先什么是“数塔类型”？从某一点转向另一点或者说是从某一状态转向另一状态，有多种选择方式（比如这里的9->12 , 9->15），从中选取一条能产生最优值的路径。

代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int c,a[101][101],b[101][101],i,j,n;
    cin >> c;
    while(c-- && cin >> n)
    {
        for(i = 0;i < n;i++)
            for(j = 0;j <= i;j++)
                  cin >> a[i][j];
        b[0][0] = 0;
        for(i = n-1;i >= 0;i--)
            for(j = i;j >= 0;j--)
                  b[i][j]=i==n-1?a[i][j]:max(a[i][j]+b[i+1][j],a[i][j]+b[i+1][j+1]);
        cout << b[0][0] << endl;
    }
    return 0;
}