约瑟夫环

约瑟夫环问题：n个人（编号0 ～ n-1)顺序围成一个圈，给定一个整数k，从1号开始报数， 当报数到k后，该人退出，然后在从下一人从1开始报数，每次报数到k后则该人退出，问对于给定n、k，当剩下最后一个幸存者，该人编号是多少。

最简单的方法是用一线性表模拟其过程，但如果给定的n, k很大时，这样的时间复杂度为O(nk)，未免太低效了。而对于约瑟夫环正好有更好的解决方法。

对与n个人约瑟夫环问题，我们对其排列成：

0， 1， 2， ...， n - 1  ==>

1， 2，...， k ， ... ，n - 1， n ( 因为n个人围成圈，所以n对应0）      1#

第一次报数到k时，第k人出列。对  1#  变形为：

k， k + 1， ...， n， 1， 2， ... ， k - 1           2#

对 2# 上各位减去k，得到：

0，1， 2， ...， n - 1 （减后模n)                   3#

1#中的k号（幸存者）对应3#中的0号，而这样刚好剩下的1, 2, ...n - 1人又成了一个n - 1的约瑟夫环。

假如  3#  的解是 x，那么2对应不就是 x + k 吗。这样得到了一个递归公式：

f(n, k) =  ( f(n - 1, k) + k) % n    (n > 1)

 or

f(n, k)  =  1     (n <= 1)

其他的约瑟夫环问题的变形也可以根据这样的递推方法求解。

维基 约瑟夫环介绍：

http://zh.wikipedia.org/zh/%E7%BA%A6%E7%91%9F%E5%A4%AB%E6%96%AF%E9%97%AE%E9%A2%98