浮点数计算造成的精度丢失问题

探讨了浮点数(double和float)在计算机中如何以科学计数法存储,解释了为何浮点数不适合精确计算,以及在计算过程中二进制与十进制转换的不可预测性和不可逆性。

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double d = 2.4;
System.out.println(d);

    输出的是2.4,而不是2.3999999999999999。也就是说,不进行浮点计算的时候,在十进制里浮点数能正确显示。这更印证了我以上的想法,即如果浮点数参与了计算,那么浮点数二进制与十进制间的转换过程就会变得不可预知,并且变得不可逆。

    事实上,浮点数并不适合用于精确计算,而适合进行科学计算。这里有一个小知识:既然float和double型用来表示带有小数点的数,那为什么我们不称 它们为“小数”或者“实数”,要叫浮点数呢?因为这些数都以科学计数法的形式存储。当一个数如50.534,转换成科学计数法的形式为5.053e1,它 的小数点移动到了一个新的位置(即浮动了)。可见,浮点数本来就是用于科学计算的,用来进行精确计算实在太不合适了
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作者:aliveClass 
来源:优快云 
原文:https://blog.youkuaiyun.com/aya19880214/article/details/45891581 
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### 浮点数精度计算原理及误差分析 浮点数精度问题源于其在计算机中的存储方式。根据 IEEE 754 标准,浮点数被分为三个部分:符号位、指数部分和尾数(有效数字)部分。以单精度浮点数为例,它使用 32 位二进制表示,其中: - 第 1 位是符号位(0 表示正数,1 表示负数) - 接下来的 8 位是指数部分 - 剩下的 23 位是尾数部分(也称为小数部分或有效数字) 这种设计使得浮点数能够在有限的位数内表示非常大或非常小的数值,但代价是 **精度损失**。 #### 浮点数精度损失的原因 1. **十进制到二进制的转换误差** 许多十进制小数无法精确表示为有限长度的二进制小数。例如,十进制的 `0.1` 在二进制中是一个无限循环小数,因此在存储时只能保留有限位数,导致精度丢失[^4]。 2. **尾数位数限制带来的舍入误差** 单精度浮点数最多只能保证约 7 位有效数字,而双精度浮点数则可以提供大约 15 到 17 位有效数字。当实际数值的有效数字超过这一限制时,系统会进行舍入处理,从而引入误差[^2]。 3. **指数偏移与规范化表示** IEEE 754 标准要求浮点数在存储前必须被规范化为形如 `1.xxxxx... × 2^e` 的形式。为了节省空间,前导的 `1.` 被隐含不存,只保存后面的尾数部分。这种设计虽然节省了存储空间,但也加剧了精度问题[^3]。 #### 浮点运算误差的传播 浮点数之间的加减乘除操作也可能放大原始误差。例如: - **加法/减法**:两个数量级差异较大的浮点数相加时,较小的数可能会因为对齐指数而导致尾数右移,超出尾数位数的部分会被截断,造成信息丢失。 - **乘法/除法**:虽然这些操作不会像加法那样因指数对齐而产生显著误差,但由于每个操作本身都基于已经存在误差的浮点数,结果也会累积误差。 #### 如何提高精度? 一种常见的做法是将浮点数转换为整数进行计算,即通过放大因子(如 $10^n$)将浮点数转换为整数。例如,若需要保留三位小数,可以将所有数值乘以 $10^4$(考虑到第四位可能不准确),然后用整数进行运算,最后再除以相应的倍数恢复为浮点数。这种方法能够避免浮点数的舍入误差,但需要注意的是,如果数值较大,可能会超出整数类型的最大范围(如 $2^{32}-1$ 或 $2^{64}-1$)[^1]。 此外,还可以使用更高精度的数据类型,如 Python 中的 `decimal.Decimal` 或 Java 中的 `BigDecimal`,它们支持任意精度的十进制运算,适用于金融等对精度要求极高的场景。 #### 示例代码:使用整数模拟浮点数计算 ```python # 使用整数模拟三位精度浮点数计算 PRECISION_SCALE = 10**4 # 放大因子 def float_to_int(x): return int(round(x * PRECISION_SCALE)) def int_to_float(x): return x / PRECISION_SCALE a = float_to_int(2.5) b = float_to_int(3.1) result = a * float_to_int(5.1) // b # 模拟 (2.5 / 3.1) * 5.1 print(int_to_float(result)) # 输出 4.08 ``` 该示例展示了如何通过整数运算来规避浮点数精度问题,并确保不同表达式在相同逻辑下得到一致的结果。 ---
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