[POI 2012]A Horrible Poem(字符串Hash)

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本文介绍了一种解决字符串中子串最小循环节长度问题的方法。利用哈希表和最大公约数（GCD）特性，通过枚举和验证，实现了高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接

http://main.edu.pl/en/archive/oi/19/okr

题目大意

给出一个字符串，多次询问其中一个子串 $[L,R]$ 的最小循环节长度。

思路

假设 $\sum _{i=L}^R(S[i]=='x')$ 表示区间 $[L,R]$ 里字母 $'x'$ 的出现次数。

假设最小循环节长度为 $t$ ，则 $\frac{R-L+1}t$ (最小循环节的出现次数)是 $\gcd_t\{\sum _{i=L}^R(S[i]==t)\}$ 的约数。

因此我们可以枚举 $\gcd_t\{\sum _{i=L}^R(S[i]==t)\}$ 的约数，得到枚举出的最小循环节的长度，这样枚举最小循环节的长度，枚举次数会很少。一个合法的循环节长度可以取 $l$ ，当且仅当 $[L,R-l]$ 部分和 $[L+l,R]$ 相同，这个可以自行yy下为啥是正确的。。。详细证明不好证。。。这样的话，我们在枚举了最小循环节的长度后就可以用hash来 $O(1)$ 判断所枚举的循环节长度是否是合法的了

代码

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>

#define MAXN 510000
#define MOD 1000000009

using namespace std;

typedef long long int LL;

char s[MAXN];
LL hash[MAXN],pow[MAXN];
int n,q;
int sum[MAXN][26];

int gcd(int a,int b)
{
    if(!b) return a;
    return gcd(b,a%b);
}

bool check(int L1,int R1,int L2,int R2)
{
    LL hash1=((hash[R1]-pow[R1-L1+1]*hash[L1-1]%MOD)%MOD+MOD)%MOD;
    LL hash2=((hash[R2]-pow[R2-L2+1]*hash[L2-1]%MOD)%MOD+MOD)%MOD;
    return hash1==hash2;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    scanf("%s",s+1);
    pow[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        pow[i]=pow[i-1]*30007%MOD;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        hash[i]=(hash[i-1]*30007%MOD+s[i]-'a'+1)%MOD;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int alpha=0;alpha<26;alpha++)
        {
            sum[i][alpha]=sum[i-1][alpha];
            sum[i][alpha]+=((s[i]-'a')==alpha);
        }
    scanf("%d",&q);
    while(q--)
    {
        int L,R,ans=0;
        scanf("%d%d",&L,&R);
        int GCD=0,len=R-L+1;
        for(int alpha=0;alpha<26;alpha++)
            GCD=gcd(GCD,sum[R][alpha]-sum[L-1][alpha]);
        for(int i=1;i*i<=GCD;i++)
        {
            if(check(L,R-len/i,L+len/i,R)) ans=max(ans,i);
            if(check(L,R-len/(GCD/i),L+len/(GCD/i),R)) ans=max(ans,GCD/i);
        }
        printf("%d\n",len/ans);
    }
    return 0;
}