math_旋转变换

原创已于 2025-11-12 17:42:18 修改 · 199 阅读

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于 2025-11-12 17:15:14 首次发布

1、四元数运算举例

要计算从 a 旋转到 c 的四元数 q2，已知：

- 从 b → a 的旋转四元数是 q0
- 从 b → c 的旋转四元数是 q1

我们目标是求 a → c 的旋转四元数 q2。

1.1、从一个坐标系（或向量）旋转到另一个的变换

若一个向量 v 在坐标系 B 中，想通过四元数 q 旋转到坐标系 A，则通常写作：

$V_{a}=q\cdot V_{b}\cdot q^{-1}$

同样是这个向量 v 逆向旋转回去，既是在坐标系 A 中，想通过四元数 q 旋转回到坐标系 B，则通常写作：

$V_{b}=q^{-1}\cdot V_{a}\cdot \left ( q^{-1} \right )^{-1}=q^{-1}\cdot V_{a}\cdot q$

1.2、联成四元数的逆

若四元数q1和四元数q2相乘，其结果的逆表示如下：

$\left ( q_{1}\cdot q_{2} \right )^{-1}=q_{2}^{-1}\cdot q_{1}^{-1}$

1.3、从一个坐标系旋转到另一个坐标系，在旋转到另一个坐标系

$V_{c}=q_{2}\cdot q_{1}\cdot V_{a}\cdot q_{1}^{-1}\cdot q_{2}^{-1}$

$V_{c}=q_{2}\cdot q_{1}\cdot V_{a}\cdot \left ( q_{2}\cdot q_{1} \right )^{-1}$

总结：从上面的运算距离，可得到a→c的旋转变换可以表示如下：

$V_{c}=q_{1}\cdot q_{0}^{-1}\cdot V_{a}\cdot q_{0}\cdot q_{1}^{-1}$

$V_{c}=q_{1}\cdot q_{0}^{-1}\cdot V_{a}\cdot \left ( q_{1}\cdot q_{0}^{-1} \right )^{-1}$

$q_{2}=q_{1}\cdot q_{0}^{-1}$

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