（《机器学习》完整版系列）第15章规则学习——15.8 三种蕴涵（你会区分么？）

文章介绍了逻辑推理中的三种蕴涵概念：运算蕴涵、语构蕴涵和语义蕴涵。运算蕴涵用于规则中的“推出”关系，语构蕴涵涉及形式推理，而语义蕴涵关注命题的真值关系。文章通过真值表举例说明了如何判断语义蕴涵，并探讨了逻辑等价和子句的特化与泛化。此外，还提到了推理系统的完备性在机器学习中的应用。

有三种蕴涵概念，需通过上下文区分。

蕴涵

蕴涵是借用集合论中的概念，字面意思是“包含”，由于有好几个相关的概念，故理解及区分上有一定难度，这里我们并不去讨论它严格定义，而是从实用角度进行通俗理解。

规则学习中有几个蕴涵符：

1.蕴涵（implication，imply）

（1）运算子 $A\leftarrow B$ （或 $\rightarrow$ ）：它是命题间的运算子，在规则中陈述“推出”关系（IF-THEN），表示由始端“推出”末端的规则，注意：它仅仅是陈述，并不是说一定成立，如，假命题即是不成立的蕴涵陈述。因此，它的“成立”需要另行说明，如是你经常看到这样的表述：“该命题成立”、“该规则成立”等等。

另外，后续几个蕴涵均是表达“已成立”。

（2）语构蕴涵（ $A\vdash B$ ）：意指可以凭借公理体系从 $A$ 证明出 $B$ 来，它是形式推理（deduction），即不去考虑符号的意义，而是按表达的形式去应用公理（“形似”）进行证明。

2.蕴涵（entailment，entail）
语义蕴涵（ $A\vDash B$ ）：它也是一种推理，即逻辑推导，需要考虑语义表达的概念的关系（即子句集的包含关系），语义通常可由真值表来定义的。 “ $A\vDash B$ ”表示一切使 $A$ 为真的情况也使得 $B$ 为真（即“命题 $A\rightarrow B$ 成立”），当然，它不排斥在某些情况下： $A$ 为假但 $B$ 也为真。

语义蕴涵还可表达式子之间关系，如
$\begin{align} (x=0)\ \vDash\ (xy=0) \tag{15.17} \end{align}$

我们抽象一下：设 $m$ 使 $A$ 为真（即 $m$ 满足 $A$ ，称为 $A$ 的模型），所有 $A$ 的模型 $m$ 的集合记为 $M (A)$ ，则如下二者是等价的：
$\begin{align} A\vDash B\tag{15.18} \\ M(A)\subseteq M(B)\tag{15.19} \end{align}$