狄洛尼三角剖分

编者按：本文作者奇舞团前端开发工程师魏川凯。

狄洛尼三角剖分（Delaunay triangulation）是指离散分布的点集P的其中一种三角剖分DT(P)，可以使得点集P中没有任意一个点严格处于任意一个三角形的外接圆的内部。狄洛尼三角剖分构建的三角网可以尽量避免狭长三角形的出现，有效提高逼近精度，使得网格整体质量保持最优，在三维显示，图像处理，人工智能等领域被广泛运用。

上图为利用三角剖分构建三角网拟合我国某山脉地形

定义

• 空圆性：DT(P)是唯一的（任意四点不能共圆），在DT(P)中，任意三角形的外接圆范围内不会有其它点存在。

• 最大化最小角：在点集所有可能的三角剖分中，狄洛尼三角剖分所形成的三角形的最小角最大，也可以说在两个相邻的三角形构成凸四边形的对角线，在相互交换后，两个内角的最小角不再增大。

性质

• 最外部的三角形边的集合是点集的凸包。

• 以最接近的三个点形成三角形，且各线段（三角形的边）皆不相交。

• 不论从区域何处开始构建，最终都将得到一致的结果（点集中任意四点不能共圆）。

• 任意两个相邻三角形构成的凸四边形的对角线如果可以互换的话，那么两个三角形六个内角中最小角度不会变化。

• 在点集所有可能的三角剖分中，狄洛尼三角剖分所形成的三角形的最小角最大，至少狄洛尼三角剖分中的最小角与其他三角剖分中的最小角相等。

• 新增、删除、移动某一个顶点只会影响邻近的三角形。