【数据结构】排序算法：堆排序

参考

• 2017版数据结构高分笔记-天勤
• 大话数据结构

介绍

堆，可看成一颗完全二叉树，其满足：任何一个非叶结点的值都不大于（或不小于）其左右节点的值。

大顶堆：父亲大孩子小
小顶堆：父亲小孩子大

堆排序思想：堆（完全二叉树）的根结点的值是最大（或最小）。因此循环地将序列调整为堆，找到序列的最大值（或最小值），将其值交换到序列的最后（或最前），使得有序序列元素增1，无序序列元素减1。

最关键操作：将序列调整

执行流程

得到原始序列（数组）

1. 建堆
2. 插入节点
   保持堆性质（完全二叉树，父大子小）。插入节点放置最底层最右边。将其依次向上调整。
3. 删除节点
   填充空位：利用最底层最右边的叶子的值填充，并下调到合适位置。
4. 排序

执行流程：（大顶堆）

1. 从无序队列所确定的完全二叉树的第一个非叶子结点开始，从右至左，从下至上，对每个结点进行调整，得到大顶堆。
2. 将当前无序序列的第一个元素（树中的根结点）a ，与无序序列的最后一个元素 b 交换，a 进入有序序列，无序序列元素减少1，有序序列元素增加1。仅 b 不满足堆定义，对其调整。
3. 重复2过程，直到无序序列元素仅剩1个时排序结束。

算法代码：

#include <stdio.h>    

#define MAXSIZE 10000  	/* 用于要排序数组个数最大值，可根据需要修改 */
typedef struct
{
	int r[MAXSIZE+1];	/* 用于存储要排序数组，r[0]用作哨兵或临时变量 */
	int length;			/* 用于记录顺序表的长度 */
}SqList;

/* 交换L中数组r的下标为i和j的值 */
void swap(SqList *L, int i, int j) 
{ 
	int temp = L->r[i]; 
	L->r[i] = L->r[j]; 
	L->r[j] = temp; 
}

/** 堆排序
 * 
 * 时间复杂度：O(nlogn)
 * 空间复杂度：O(1)
 * 作用：堆是完全二叉树，具备以下性质：
 * 		每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值（大顶堆）；
 * 		每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值（小顶堆）
 * 应用：不断交换堆顶元素到末尾，并重新调整堆，达到堆排序的目的。
 * 问题划分：无序队列构建堆；调整剩余元素成为新堆。
*/

/* 已知L->r[s..m]中记录的关键字除L->r[s]之外均满足堆的定义， */
/* 本函数调整L->r[s]的关键字,使L->r[s..m]成为一个大顶堆 */
void HeapAdjust(SqList *L, int s, int m)
{ 
	int temp, j;
	temp = L->r[s];
	for(j = 2*s; j <= m; j*=2) 		/* 沿关键字较大的孩子结点向下筛选 */
	{
		if(j < m && L->r[j] < L->r[j+1]) /* r[j]是r[s]的左孩子结点 */
			++j; 					/* j为关键字中较大的记录的下标 */
		if(temp >= L->r[j])
			break; 					/* rc应插入在位置s上 */
		L->r[s] = L->r[j];			/* r[j] 调整到双亲结点上 */
		s = j;						/* 修改s 的值，以便继续向下调整 */
	}
	L->r[s] = temp; 				/* 被调整的节点值导入最终位置 */
}


/*  对顺序表L进行堆排序 */
void HeapSort(SqList *L)
{
	int i;
	for(i = L->length/2; i > 0; i--) 		/* 把L中的r构建成一个大根堆 */
		 HeapAdjust(L, i, L->length);

	for(i = L->length; i > 1; i--)
	{ 
		 swap(L, 1, i); 					/* 将堆顶记录和当前未经排序子序列的最后一个记录交换 */
		 HeapAdjust(L, 1, i-1); 			/*  将L->r[1..i-1]重新调整为大根堆 */
	}
}
/* **************************************** */
#define N 9
int main()
{
   int i;
   
   /* int d[N] = {9,1,5,8,3,7,4,6,2}; */
   int d[N] = {50,10,90,30,70,40,80,60,20};
   /* int d[N] = {9,8,7,6,5,4,3,2,1}; */

   SqList l0, l6;
   
   for(i = 0; i < N; i++)
     l0.r[i+1] = d[i];
   l0.length = N;
   l6 = l0;
   printf("排序前:\n");
   print(l0);
	
   printf("堆排序:\n");
   HeapSort(&l6);
   print(l6);
}