（二）计算机如何保存字符和数字，并完成计算-优快云博客

UFT-32，我们用固定四个字节来表示每个字符，很明显，如果对于只是用英文的机器来说非常的浪费。因为英文字符在unicode字符集的最前面。这些英文字母对应的码点只需要一个字节就能表示。
UFT-8，一种变长的编码方案，使用 1~6 个字节来存储。这种方案允许不同字符用不同长度的字节数来存储。这种方案有一个明显的优点，无论你想用到的字符在unicode的码点是大还是小，它都会选择一个合适的字节数来存储。那么它是如何存储，以及存储后如何解析呢？我们后续分析
UTF-16：介于 UTF-8 和 UTF-32 之间，使用 2 个或者 4 个字节来存储，长度既固定又可变。

1.3、编码实现细节

接下来我们解释编码格式的具体实现

UTF-32很好理解，固定长度的字节存储和解析都非常的容易。
UTF-8，这种编码方式的目的很明显，尽可能使用少的字节来存储字符。但是一旦不同字符使用的字节数不一样，我们在拿到二进制串解析的时候就会手足无措。所以我们必须让存储好的二进制串具备一个特定的格式，既能节省存储空间又能让我们可以解析。

例如存储的二进制串有如下格式：
0xxxxxxx：单字节编码形式，这和 ASCII 编码完全一样，因此 UTF-8 是兼容 ASCII 的；
110xxxxx 10xxxxxx：双字节编码形式；
1110xxxx 10xxxxxx 10xxxxxx：三字节编码形式；
11110xxx 10xxxxxx 10xxxxxx 10xxxxxx：四字节编码形式。

这里列举了一个字符分别用1-4个字节如何表示，在这个二进制串中，真正存储码点的是xxx这些二进制，而这些110,1110等的二进制就是我们的特定格式，为我们解析码点提供帮助。

我们按顺序解析存储在内存中的二进制串，当遇到当前字节是0开头，则表示这个字符占一个字节，其码点是后面的7个bit位表示。同样其他的字符也可以按这种方式进行解析，获取字符占用字节数，以及它对应的码点。

可能大家有个疑问，如果有个字符的码点刚好和我们的格式开头一样，岂不是会解析错误。其实这个存储的格式设计的很巧妙，可以避免这种出现这种问题，大家可以自己去验证。

UTF-16, 这种编码方式分两种情况

如果字符的码点在 0 ~ FFFF 之间，直接把码点转为二进制存储即可。

如果字符的码点在 10000~10FFFF 之间，则使用类似于UTF-8的格式进行存储：110110xx xxxxxxxx 110111xx xxxxxxxx

解析二进制串的时候只要去判断当前四个字节的格式是否满足110110xx xxxxxxxx 110111xx xxxxxxxx，如果不满足则表示当前字符占两个字节，否则占四个字节。

UTF-8是因为存储格式比较完善，可以避免把码点的二进制串当成前缀解析。但是UTF-16很明显没有这个能力。如果有两个字符的码点分别如下：11011010 00000000 ，11011110 00000000，当他们刚好存储在一起时，那岂不是被解析成一个字符。所以这个只能从字符集上处理，那就是字符集里不许使用 11011000 00000000 到 11011111 11111111 之间的码点，换成十六进制就是：0xD800~0xDFFF。而实际上也确实如此，Unicode 字符集这个区间内确实没有收录任何字符。

1.4、总结

我们现在已经完全理解了unicode字符集以及它目前可使用的三种编码方式。此时我们再来看经常听说的 ASCII, GBK, GBK2312，应该也就很好理解了。他们都是自成一套字符集和编码方式。

二、数字存储和运算

计算机内，加减乘除，都只需要通过位移 + 加法器来实现。接下来我们来具体分析是如何做到的呢。

2.1、整数存储

整数可以分为：有符号整数（正整数，负整数），无符号整数（都是正整数）

符号位是最高位，最高位为0表示正数，为1则表示负数
无符号的正数则不需要符号位，由于多了一位可以表示数值，所以能表示的值更大

负整数是一个比较特殊的存在。它在计算机中有三种形态：源码，反码，补码。那我们在计算中要以哪种形态存储负整数呢？为什么要搞这么复杂呢？
负整数在计算机中一般以补码的形式存储，之所以有几种形态，我认为每种形态可能都有他的作用，例如因为对于人而言，源码好理解，而对于cpu的运算器而言，补码更方便运算。如何运算后续会讲到。
反码和补码是针对原码而言，它的规则如下：

负数的反码，在源码的基础上，符号位不变，其它位取反
负数的补码，在反码的基础上，最低位+1

2.2、整数运算

下面用到的都是有符号整数，为了方便举例，我们假设每个整数占一个字节。

正数+正数正常求解即可
负数+负数正常求解后最高位强行制为1即可
正数+负数求解过程如下，先计算 正数补码+负数补码 得到结果A（超出最高位溢出的部分被忽略），此时的结果A是补码，把A还原成原码即为最终的结果。

负整数的加法

5 对应的源码：0000 0101

-5 对应的源码：1000 0101，补码：1111 1011

5 + (-5) = 0

0000 0101(5的源码) + 1111 1011(-5的补码) = 0000 0000

这就是补码的作用，是不是很神奇。我们既然能实现负数的加法，那其实就已经实现了减法了：5 + (-5) = 0 不就是 5 - 5= 0 。所以对于减法，我们可以转换为加法来实现。

正整数的乘法

通过位移和累加的方式实现乘法

13 * 9 = 117

0000 1101 * 0000 1001 计算过程如下

正整数的除法

位移和减法实现除法

实现细节暂时不清楚。

2.3、浮点数存储

较为复杂的是浮点数的保存,例如32位单精度浮点数保存格式如下：

该浮点数最终的值则为：

可以看到有效位数其实真正是 24位，因为默认最前面会有一个1。

其中e能够表示的整数空间，就是 0～255。我们在这里用 1～254 映射到 -126～127 这 254 个有正有负的数上。因为我们的浮点数，不仅仅想要表示很大的数，还希望能够表示很小的数，所以指数位也会有负数。而0和255则有特殊用处，如下：

0.1-0.9，计算机只能精准的表示0.5，即2的-1次方。由此可以得知计算机能精确表示的小数只能是 2的-n次方的多个结果的和（1/2+1/4+1/8类似这种组合）。所以0.3，0.4这些无法精确表示的小数，计算机只能通过近似值来表示，近似到直到把有效位数填满。例如二进制的小数 0.1001 表示为十进制则为 2的-1次方加上 2的-4次方。若要用二进制表示十进制的0.1，则用上面的方法一直往下累加，知道有效位数用完，但最终还是近似值。经典的例子：0.3+0.6 = 0.89999999...

2.4、浮点数运算

两个浮点数相加，先把指数位变成一样，再把有效位的数相加。指数位小的向指数位大的靠拢，意味着指数位小的那个浮点数需要把有效位向右移动。这样一来，指数位小的数据在进行相加时就可能丢失精度。例如 20000000.0f + 1.0f = 20000000.0f

下面是解决浮点数相加丢失精度的算法，但是还是避免不了极端情况的精度丢失。

    // i=16777216, sum=16777216, 结果正确
    // i=16777217, sum=16777216, 结果错误（两个数指数位差出23位，对齐后小的那个数有效位全部失效：1f+16777216f=16777216f;）
    // i=16777218, sum=16777218, 结果正确（本例中把1f变为2f，指数位的差距立马小于23位，对齐后最左边的有效位保留了：2f+16777216f=16777218f）
    public static void main(String[] args) {
        float sum = 0f;
        float remainAdd = 0f;

        for(int i=0; i<16777217; i++) {
            float add = 1f;
            float needToAdd = add+remainAdd;
            float nextValue = sum + needToAdd;
            remainAdd = needToAdd-(nextValue-sum);
            sum = nextValue;
        }

        System.out.println(sum);
    }

例如mysql中的decimal类型的数据，保存的不是近似值，而是采用准确保存方法，若要精确的数据则可以使用该类型。

2.5、总结

还有很多关于浮点数的乘除法，无符号数的运算，都比较复杂，有兴趣可以自己去了解。

三、理解加法器的电路实现

计算机硬件层面能做的事情非常有限，就是最基础的门电路：与门，或门，非门，异或门。

在基础门电路智商，我们来实现单个bit位的加法运算。A和B两个bit相加，会产生一个进位U，一个当前位 S 的结果。

由于二进制的特殊性，两个bit相加，只有当两个bit都是1的时候才能进位。那么判断是否产生进位可以通过与门得到

而一个bit只有0或1两种可能，两个bit相加只有四种情况（0+1,1+0,1+1,0+0），可以发现相同的bit相加后当前bit位都为0，不同的bit位相加后则为1。那么当前bit位结果则可以通过 异或门 得到

可以发现一个异或门+一个与门可以完成两个bit的加法运算，我们称作半加器，如下图

若两个数都拥有多位bit，相加时低位产生的进位数据会参与高位之间的求和，此时则需要接收低位传过来的进位数据。我们可以用两个半加器+一个或门实现。第一个半加器还是计算当前位的加法，产生一个进位U，一个当前位 S 的结果。第二个半加器则把当前位结果 S 和低位传过来的进位 U0 相加得到一个进位 U1，一个当前位 S1 的结果（最终的当前位结果）。最后把两个半加器产生进位进行或操作，得到最终的进位结果 U2。我们称这位全加器，如下图

把全加器组合串起来就可以得到加法器，对多位bit的数据进行加法运算。通过补码运算，可以把减法运算变成加法运算；而乘法可以用加法来做，除法可以转变成减法。这样一来，加、减、乘、除四种运算“九九归一”了。这对简化CPU的设计非常有意义，CPU里面只要有一个加法器就可以做算术运算了。通过加法器我们就可以得到算术逻辑单元（ALU）。

乘法的电路可以通过加晶体管，设计更复杂的电路来达到并发。
除法的电路却不好实现并发，所以除法执行可能需要几十个时钟周期，比乘法更久。