贝塞尔曲线上一点

计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但使用de Casteljau提出的递推算法则要简单得多。

    如图3.1.10所示，设P₀、P₀²、P₂是一条抛物线上顺序三个不同的点。过P₀和P₂点的两切线交于P₁点，在P₀²点的切线交P₀P₁和P₂P₁于P₀¹和P₁¹，则如下比例成立：

    这是所谓抛物线的三切线定理。

图3.1.10 抛物线三切线定理

当P₀，P₂固定，引入参数t，令上述比值为t:(1-t)，即有：

    t从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二条边，它们是两条一次Bezier曲线。将一、二式代入第三式得：

    当t从0变到1时，它表示了由三顶点P₀、P₁、P₂三点定义的一条二次Bezier曲线。并且表明：这二次Bezier曲线P₀²可以定义为分别由前两个顶点(P₀,P₁)和后两个顶点(P₁,P₂)决定的一次Bezier曲线的线性组合。依次类推，由四个控制点定义的三次Bezier曲线P₀³可被定义为分别由(P₀,P₁,P₂)和(P₁,P₂,P₃)确定的二条二次Bezier曲线的线性组合，由(n+1)个控制点P_i(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线P₀ⁿ可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P₀^n-1与P₁^n-1的线性组合：

由此得到Bezier曲线的递推计算公式：

    这便是著名的de Casteljau算法。用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。上式中：P_i⁰=P_i是定义Bezier曲线的控制点，P₀ⁿ即为曲线P(t)上具有参数t的点。de Casteljau算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算Bezier曲线的基本算法和标准算法。

    当n=3时，de casteljau算法递推出的P_i^k呈直角三角形，对应结果如图3.1.11所示。从左向右递推，最右边点P₀³即为曲线上的点。

图3.1.11 n=3时，P_iⁿ的递推关系

长度为t:(1-t)的两段。依次对原始控制多边形每一边执行同样的定比分割，所得分点就是第一级递推生成的中间顶点P_i¹(i=0,1,...,n-1)，对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的定比分割，得第二级中间顶点P_i²(i=0,1,...,n-2)。重复进行下去，直到n级递推得到一个中间顶点P₀ⁿ即为所求曲线上的点P(t)，如图3.1.12所示。

图3.1.12 几何作图法求Bezier曲线上一点（n=3，t=1/4）