MIT算法导论-第六讲-顺序统计问题

最新推荐文章于 2020-03-10 22:46:53 发布

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分类专栏：算法导论文章标签：算法导论顺序统计

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qing0706/article/details/50128511

本文介绍了如何高效地找到序列中的最小值和最大值，通过改进算法将比较次数降低到3⌊n/2⌋。接着讨论了随机化选择算法，它能在平均O(n)时间内找到第i小的元素，虽然最坏情况下有O(n^2)的时间复杂度，但概率极小。最后，详细阐述了一种确定性选择算法，即使在最坏情况下也能保持O(n)的时间复杂度，但其常数项较大且消耗更多存储空间。核心思想是在分治法中确保子问题规模小于n。

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                    1. 最小值和最大值 
在一个有n个元素的集合中，需要做n−1次比较才能确定其最小（大）元素。如果要同时找出最小值和最大值，通常的做法是对每一个输入的元素都与已知的min和max作比较，这样相当于独立完成两趟查找进行2(n−1)次比较。事实上，只要记录已知的min和max，每次取2个元素进行比较，然后较小的和min进行比较，较大的和max进行比较，这样就实现了对每两个元素进行3次比较，总共只需要3⌊n/2⌋次比较。这种算法虽然也是渐近为O(n)的算法，但从比较次数来看要比暴力求解快上约25%。 
2. 随机化选择算法（选择第i小的算法） 
随机选择算法是一种随机的分治算法，在进行主元划分之后，快速排序会递归处理划分的两边，而随机化选择算法只处理划分的其中一边。该算法的可以以O(n)的时间找到第i小的元素。 
运行时间分析，平均时间为O（n）,最好情况下就是每次选到的pivot都是数组的中位数，递归式为T(n)≤T(n/2)+Θ(n)。最坏情况下，递归式为T（n）=T（n-1）+Θ（n），时间复杂度可达到O（n^2