数论问题的几个工具函数

包括求最大公约数、指数运算求模、高斯 φ 函数 、模运算乘法逆的几个工具函数：

public class NumberTheoryUtil {
	
	// 用于返回结果 使 ax + by = d
	public static class Result {
		int a;	int b;	int d;
		public Result(int a, int b, int d) {
			this.a = a;	this.b = b;	this.d = d;
		}
	}
	
	// 求 x 和 y 的最大公约数 d 以及 a 和 b 使 ax+by=d 且 |a|+|b| 最小
	public static Result gcd(int x, int y) {
		if ( x%y == 0 ) {
			return new Result(0,1,y);
		} else {
			Result res = gcd(y,x%y);
			return new Result(res.b, res.a-res.b*x/y, res.d);
		}
	}
	
	// 求模 a^p mod n
	public static int expmod(int a, int p, int n) {
		if ( p == 0 ) {
			return 1;
		} else if ( p%2 ==0 ) {
			int m = expmod(a,p/2,n);
			return (m*m)%n;
		} else {
			int m = expmod(a,(p-1)/2, n);
			return (m*m*a)%n;
		}
	}
	
	// 求小于等于 n 且与 n 互素的自然数的数目，即高斯函数 φ(n)
	// phi(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)...(1-1/pk)
	public static int phi(int n) {
		int m = (int)Math.sqrt(n+0.5);
		int r = n;
		for ( int i=2; i<=m; i++ ) {
			if ( n%i == 0 )
				r = r*(i-1)/i;
			while (n%i==0) n=n/i;
		}
		return r;
	}
	
	// 求即高斯函数 φ(k) k = 1,2,...,n
	public static int[] phi2(int n) {
		int[] phi = new int[n+1];
		for ( int i=2; i<=n; i++ ) {
			if ( phi[i] == 0 ) {
				for ( int j=i; j<=n; j+=i ) {
					if ( phi[j] == 0 )
						phi[j] = j;
					phi[j] = phi[j]*(i-1)/i;
				}
			}
		}
		return phi;
	}
	
	// 求 模 n 运算下 x 的乘法逆 y 使 xy mod n = 1，-1 表示无乘法逆
	public static int opposite(int x, int n) {
		Result res = gcd(x,n);
		if ( res.d == 1 ) {
			return (res.a + n)%n;
		} else {
			return -1;
		}
	}

}