多叉树计数,Exploring Pyramids, NEERC 2005, LA 3516

该博客探讨了如何计算与给定序列匹配的不同多叉树的数量。通过动态规划的方法,分析了边界条件和递推表达式,解释了如何确定字符区间对应的不同树的数目。核心思想是树的最左分支与序列中字符的关系,以及如何根据字符A在序列中的出现进行计算。

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给一颗多叉树,每个结点的子结点都有从左到右的顺序,从根结点开始,每次尽量选择靠左的分支走,走不通就回溯,把遇到的字母记录下来,可以得到一个序列。 给定一个序列,问有多少树和他对应?

令 S 表示给定序列,d[i][j] 表示字符区间 [i,j] 对应的不同的树的数目,则有如下边界条件:

如果 i == j 则 d[i][j] = 1

如果 S[i] != S[j]  则 d[i][j] = 0,因为从根出发一定回溯到根,区间的首末字符必须一样才构成一颗树

再考虑递推表达式,一颗树如果去掉其最左分支,仍然是一颗树,所以树的数目等于最左分支的数目乘以剩余部分树的数目;如果序列首字符是 S[i] == A ,那么区间[i+1, j] 中出现的每个字符 A 都可以作为最左分支与剩余部分的边界;所以 d[i][j] = sum { d[i+1][k-1] * d[k][j] , i+2<=k<=j && S[k] == A }

public class ExplorringPyramid {
	
	// d[i][j] 表示从区间[i,j]之间的字母组成的不同的树的数目
	// d[i][j] = 0    if A[i] != A[j]
	// d[i][j] = 1    if i == j
	// d[i][j] = sum { d[i+1][k-1]*d[k][j] | i+1<k<=j }
	public static int solve(String str) {
		
		int n = str.length();
		int[][] d = new int[n][n];
		
		for ( int i=0; i<n; i++ )
			for ( int j=0; j<n; j++ )
				d[i][j] = -1;
		
		return dp(str, d, 0, n-1);
	}
	
	private static int dp(String str, int[][] d, int i, int j) {
		
		if ( d[i][j] >= 0)
			return d[i][j];
		
		int res = 0;
		if ( i == j ) {
			res = 1;
		} else if ( str.charAt(i) != str.charAt(j) ) {
			res = 0;
		} else {
			for ( int k=i+2; k<=j; k++ ) {
				res += dp(str,d,i+1,k-1)*dp(str,d,k,j);
			}
		}
		
		d[i][j] = res;
		return res;
	}

	// 测试
	public static void main(String[] args) {
		String[] strs = { "ABABABA" };
		for ( String str : strs ) {
			System.out.printf("%s - %d", str, solve(str));
		}
	}

}


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