多叉树计数，Exploring Pyramids， NEERC 2005, LA 3516_exploring pyramids, neerc 2005, la 3516-优快云博客

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该博客探讨了如何计算与给定序列匹配的不同多叉树的数量。通过动态规划的方法，分析了边界条件和递推表达式，解释了如何确定字符区间对应的不同树的数目。核心思想是树的最左分支与序列中字符的关系，以及如何根据字符A在序列中的出现进行计算。

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给一颗多叉树，每个结点的子结点都有从左到右的顺序，从根结点开始，每次尽量选择靠左的分支走，走不通就回溯，把遇到的字母记录下来，可以得到一个序列。给定一个序列，问有多少树和他对应？

令 S 表示给定序列，d[i][j] 表示字符区间 [i,j] 对应的不同的树的数目，则有如下边界条件：

如果 i == j 则 d[i][j] = 1

如果 S[i] != S[j] 则 d[i][j] = 0，因为从根出发一定回溯到根，区间的首末字符必须一样才构成一颗树

再考虑递推表达式，一颗树如果去掉其最左分支，仍然是一颗树，所以树的数目等于最左分支的数目乘以剩余部分树的数目；如果序列首字符是 S[i] == A ，那么区间[i+1, j] 中出现的每个字符 A 都可以作为最左分支与剩余部分的边界；所以 d[i][j] = sum { d[i+1][k-1] * d[k][j] , i+2<=k<=j && S[k] == A }

public class ExplorringPyramid {
	
	// d[i][j] 表示从区间[i,j]之间的字母组成的不同的树的数目
	// d[i][j] = 0    if A[i] != A[j]
	// d[i][j] = 1    if i == j
	// d[i][j] = sum { d[i+1][k-1]*d[k][j] | i+1<k<=j }
	public static int solve(String str) {
		
		int n = str.length();
		int[][] d = new int[n][n];
		
		for ( int i=0; i<n; i++ )
			for ( int j=0; j<n; j++ )
				d[i][j] = -1;
		
		return dp(str, d, 0, n-1);
	}
	
	private static int dp(String str, int[][] d, int i, int j) {
		
		if ( d[i][j] >= 0)
			return d[i][j];
		
		int res = 0;
		if ( i == j ) {
			res = 1;
		} else if ( str.charAt(i) != str.charAt(j) ) {
			res = 0;
		} else {
			for ( int k=i+2; k<=j; k++ ) {
				res += dp(str,d,i+1,k-1)*dp(str,d,k,j);
			}
		}
		
		d[i][j] = res;
		return res;
	}

	// 测试
	public static void main(String[] args) {
		String[] strs = { "ABABABA" };
		for ( String str : strs ) {
			System.out.printf("%s - %d", str, solve(str));
		}
	}

}