Timus 1791 汽车过桥的问题

本文探讨了一种策略,旨在确保在有限时间内,所有排队等待过桥的车辆都能顺利通过,避免迟到。通过分析车辆的开始排队时间、最大忍受时间以及过桥时间限制,提出了一种动态分配过桥顺序的方法,确保每辆车都在其可接受的时间范围内完成过桥过程。

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原题地址 http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1791

中文地址http://www.51nod.com/question/index.html#!questionId=705


一座桥,一辆车通过的时间是1分钟,同一时间只能有1辆车在桥上,桥的一边有N辆车排队,另一边有M辆车排队。每辆车有个开始排队时间Ti,和从排队开始一直到到达对面所能忍受的最大时间Pi(否则就会迟到)。两边的车辆都需要按照开始排队的时间一个个走。问是否存在一种过桥方式,使得所有车都不会迟到。

n,m<=100,000,ti,pi<=10^8(Ti是开始排队的时间,Pi是忍受时间)

依题意,每辆车的最晚出发时间为 t[i] + p[i] - 1,定义函数F(t,i,j)∈{true, false},其中t >= 1 表示当前时间,i ∈ [1..M+1] 表示t时刻左边第一辆车的序号,j ∈ [1..N+1]表示t时刻右边第一辆车的序号,那么初始状态为F(1,1,1)

如果左边右边所有车都已经通过则返回true:
F(t,i,j) = true
if ( i == M+1 && j == N+1 )              

如果当前时间已经晚于左边或右边剩余第一辆车的最晚出发时间则返回fase:
F(t,i,j) = false
if ( i <= M && t_left[i] + p_left[i] - 1 < t  ) || ( j<=N && t_right[j] + p_right[j] -1 < t )

如果左右都有车可放行,让左边走一辆或者让右边走一辆:
F(t,i,j) = F(t+1, i+1, j ) || F(t+1, i, j+1 )
if ( i <= M && t_left[i] <= t && j <= N && t_right[j] <= t )

如果左边没有车可以放行,右边有车可以放行:
F(t,i,j) = F(t+1, i, j+1)
if ( i ==M+1 || t_left[i] > t ) && ( j <=N && t_right[j] <= t )

如果左边有车可以放行,右边没有车可以放行:
F(t,i,j) = F(t+1,i+1,j)
if ( i<=M && t_left[i] <= t ) && ( j == N+1 || t_right[j] > t )

如果左右都没有车可以放行:
F(t,i,j) = F(t+1,i,j)
if ( i<=M && t_left[i] > t ) && ( j <=N && t_right[j] > t )

### 四人过桥问题的伪代码算法描述 对于四人过桥问题,假设存在一座桥梁一次只能容纳一个人通行,并且每个人有不同的过桥时间。目标是最短时间内让所有人安全过桥。此场景下可采用同步机制中的P、V操作来控制临界资源访问。 定义两个信号量用于管理行人之间的互斥以及协调不同方向行人的交替: - `mutex`:确保每次只有一个线程能够修改共享变量。 - `bridgeAccess`:用来限制同时在桥上的最大人数为1。 #### 初始化信号量 ```python semaphore mutex = 1; semaphore bridgeAccess = 1; ``` #### 行人过程 每位行人尝试穿越桥梁的过程如下所示: ```python def cross_bridge(person_id, direction): global total_time P(mutex) # 进入临界区前先获取锁 P(bridgeAccess) # 尝试获得上桥权限 start_time = get_current_time() print(f"Person {person_id} starts crossing the bridge towards {direction}.") sleep(crossing_times[person_id]) # 模拟实际过桥耗时 end_time = get_current_time() total_time += (end_time - start_time) V(bridgeAccess) # 完成过桥后释放许可给下一个行人 V(mutex) # 解除锁定以便其他进程进入临界区 ``` 这里假设有四个行人分别编号0到3,各自拥有不同的过桥所需时间存储于数组`crossing_times[]`中;函数`get_current_time()`返回当前时刻的时间戳;而`sleep(seconds)`则模拟真实的过桥延迟效果。 为了简化说明,在上述例子中忽略了具体的方向处理逻辑(即东西向还是南北向),实际上可以根据需求调整参数传递方式以区分不同方向的情况[^1]。
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