每周题解：牛的旅行

题目描述

牛的旅行

农民John的农场里有很多牧区。有的路径连接一些特定的牧区。一片所有连通的牧区称为一个牧场。但是就目前而言，你能看到至少有两个牧区不连通。

现在，John想在农场里添加一条路径 ( 注意，恰好一条 )。对这条路径有这样的限制：一个牧场的直径就是牧场中最远的两个牧区的距离 ( 本题中所提到的所有距离指的都是最短的距离 )。

考虑如下的两个牧场，图１是有$5$个牧区的牧场，牧区用*表示，路径用直线表示。每一个牧区都有自己的坐标：

图１所示的牧场的直径大约是$12.07106$, 最远的两个牧区是$A$和$E$，它们之间的最短路径是$A\to B\to E$。 这两个牧场都在John的农场上。John将会在两个牧场中各选一个牧区，然后用一条路径连起来，使得连通后这个新的更大的牧场有最小的直径。

注意，如果两条路径中途相交，我们不认为它们是连通的。只有两条路径在同一个牧区相交，我们才认为它们是连通的。

现在请你编程找出一条连接两个不同牧场的路径，使得连上这条路径后，所有牧场（生成的新牧场和原有牧场）中直径最大的牧场的直径尽可能小。

输入格式

第 1 行：一个整数$N$ ($1\le N\le 150$), 表示牧区数；
第 2 到 $N+1$ 行：每行两个整数$X$，$Y$ ( $0\le X，Y\le 100000$ )， 表示$N$个牧区的坐标，每个牧区的坐标都是不一样的。
第 $N+2$ 行到第 $2\times N+1$ 行：每行包括$N$个数字 ( $0$或$1$ ) 表示一个对称邻接矩阵。 例如，题目描述中的两个牧场的矩阵描述如下：

  A B C D E F G H 
A 0 1 0 0 0 0 0 0 
B 1 0 1 1 1 0 0 0 
C 0 1 0 0 1 0 0 0 
D 0 1 0 0 1 0 0 0 
E 0 1 1 1 0 0 0 0 
F 0 0 0 0 0 0 1 0 
G 0 0 0 0 0 1 0 1 
H 0 0 0 0 0 0 1 0

输出格式

只有一行，包括一个实数，表示所求答案。数字保留六位小数。

样例 #1

样例输入 #1

8
10 10
15 10
20 10
15 15
20 15
30 15
25 10
30 10
01000000
10111000
01001000
01001000
01110000
00000010
00000101
00000010

样例输出 #1

22.071068

算法思想

根据题目描述，测试样例可以得到这样一张图：

其中$A,B,C,D,E$属于一个牧场，$F,G,H$属于另外一个牧场。现在要将两个牧场用一条路径连起来，使得连通后这个新的更大的牧场有最小的直径。

用一条路径连接后，要求所有牧场（生成的新牧场和原有牧场）中直径最大的牧场，使其直径尽可能小。那么直径最大的牧场无非有两种情况：

• 最大牧场是原有牧场
• 最大牧场是生成的新牧场

可以确定结果一定是大于等于所有原有牧场的直径的，并且生成的新牧场的直径必须尽可能的小，所以答案应该取这两者的最大值。

那么算法的基本思想：

• 首先求出原有牧场中，任意两个的牧区之间的最短距离，可以用「Floyd」算法完成
• 然后求出在同一牧场中，到牧区$i$的最远距离$maxd[i]$，同时打擂台求其中的最大值$res1$，就是原有牧场的直径最大值。
• 其次，枚举一条连接两个不同牧场的路径，求出连接后的牧场直径，即$maxd[i]+x+maxd[j]$，其中$i$和$j$属于不同牧场，$x$表示牧区$i$和$j$的距离，那么其中最小的就是生成的新牧场的直径$res2$。
• 最后，$res1$和$res2$的最大值就是答案。

时间复杂度

本题的核心是使用Floyd算法计算任意两个牧区之间的最短路，时间复杂度为$O(n^3)$。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<double,double> PDD;
const int N = 155;
const double INF = 1e20;
int n;
PDD p[N];
char g[N][N];
double d[N][N], maxd[N]; //maxd[i]表示在一个牧场中距离牧区i的最远距离
double get_dis(PDD a, PDD b)
{
    double dx = a.first - b.first;
    double dy = a.second - b.second;
    return sqrt(dx * dx + dy * dy);
}
int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i ++) cin >> p[i].first >> p[i].second;
    for(int i = 0; i < n; i ++) cin >> g[i];
    //初始化状态数组
    for(int i = 0; i < n; i ++)
        for(int j = 0; j < n; j ++)
            if(i == j) d[i][j] = 0; //同一个点
            else if(g[i][j] == '1') d[i][j] = get_dis(p[i], p[j]); //相邻计算距离
            else d[i][j] = INF;
    //Floyd计算任意两点之间的距离
    for(int k = 0; k < n; k ++)
        for(int i = 0; i < n; i ++)
            for(int j = 0; j < n; j ++)
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
    
    double res1 = 0;
    //计算每个牧区连通的最远牧区的距离
    for(int i = 0; i < n; i ++)
    {
        for(int j = 0; j < n; j ++)
        {
            if(d[i][j] < INF / 2) //i和j是连通的
                maxd[i] = max(maxd[i], d[i][j]);
        }
        res1 = max(res1, maxd[i]); //求所有牧场的最大直径
    }
    //枚举一条连接两个不同牧场的路径
    double res2 = INF; //求连通两个牧场后，直径的最小值
    for(int i = 0; i < n; i ++)
        for(int j = 0 ; j < n; j ++)
        {
            if(d[i][j] > INF / 2) //两个牧区不连通
            {
                double x = get_dis(p[i], p[j]);
                res2 = min(res2, maxd[i] + x + maxd[j]);
            }
        }
    printf("%.6lf", max(res1, res2));
    return 0;
}