题目描述
牛的旅行
农民John的农场里有很多牧区。有的路径连接一些特定的牧区。一片所有连通的牧区称为一个牧场。但是就目前而言,你能看到至少有两个牧区不连通。
现在,John想在农场里添加一条路径 ( 注意,恰好一条 )。对这条路径有这样的限制:一个牧场的直径就是牧场中最远的两个牧区的距离 ( 本题中所提到的所有距离指的都是最短的距离 )。
考虑如下的两个牧场,图1是有555个牧区的牧场,牧区用*
表示,路径用直线表示。每一个牧区都有自己的坐标:
图1所示的牧场的直径大约是12.0710612.0710612.07106, 最远的两个牧区是AAA和EEE,它们之间的最短路径是A→B→EA\to B\to EA→B→E。 这两个牧场都在John的农场上。John将会在两个牧场中各选一个牧区,然后用一条路径连起来,使得连通后这个新的更大的牧场有最小的直径。
注意,如果两条路径中途相交,我们不认为它们是连通的。只有两条路径在同一个牧区相交,我们才认为它们是连通的。
现在请你编程找出一条连接两个不同牧场的路径,使得连上这条路径后,所有牧场(生成的新牧场和原有牧场)中直径最大的牧场的直径尽可能小。
输入格式
第 1 行:一个整数NNN (1≤N≤1501 ≤ N ≤ 1501≤N≤150), 表示牧区数;
第 2 到 N+1N+1N+1 行:每行两个整数XXX,YYY ( 0≤X,Y≤1000000≤ X,Y≤ 1000000≤X,Y≤100000 ), 表示NNN个牧区的坐标,每个牧区的坐标都是不一样的。
第 N+2N+2N+2 行到第 2×N+12\times N+12×N+1 行:每行包括NNN个数字 ( 000或111 ) 表示一个对称邻接矩阵。 例如,题目描述中的两个牧场的矩阵描述如下:
A B C D E F G H
A 0 1 0 0 0 0 0 0
B 1 0 1 1 1 0 0 0
C 0 1 0 0 1 0 0 0
D 0 1 0 0 1 0 0 0
E 0 1 1 1 0 0 0 0
F 0 0 0 0 0 0 1 0
G 0 0 0 0 0 1 0 1
H 0 0 0 0 0 0 1 0
输出格式
只有一行,包括一个实数,表示所求答案。数字保留六位小数。
样例 #1
样例输入 #1
8
10 10
15 10
20 10
15 15
20 15
30 15
25 10
30 10
01000000
10111000
01001000
01001000
01110000
00000010
00000101
00000010
样例输出 #1
22.071068
算法思想
根据题目描述,测试样例可以得到这样一张图:
其中A,B,C,D,EA,B,C,D,EA,B,C,D,E属于一个牧场,F,G,HF,G,HF,G,H属于另外一个牧场。现在要将两个牧场用一条路径连起来,使得连通后这个新的更大的牧场有最小的直径。
用一条路径连接后,要求所有牧场(生成的新牧场和原有牧场)中直径最大的牧场,使其直径尽可能小。那么直径最大的牧场无非有两种情况:
- 最大牧场是原有牧场
- 最大牧场是生成的新牧场
可以确定结果一定是大于等于所有原有牧场的直径的,并且生成的新牧场的直径必须尽可能的小,所以答案应该取这两者的最大值。
那么算法的基本思想:
- 首先求出原有牧场中,任意两个的牧区之间的最短距离,可以用「Floyd」算法完成
- 然后求出在同一牧场中,到牧区iii的最远距离maxd[i]maxd[i]maxd[i],同时打擂台求其中的最大值res1res1res1,就是原有牧场的直径最大值。
- 其次,枚举一条连接两个不同牧场的路径,求出连接后的牧场直径,即maxd[i]+x+maxd[j]maxd[i] + x + maxd[j]maxd[i]+x+maxd[j],其中iii和jjj属于不同牧场,xxx表示牧区iii和jjj的距离,那么其中最小的就是生成的新牧场的直径res2res2res2。
- 最后,res1res1res1和res2res2res2的最大值就是答案。
时间复杂度
本题的核心是使用Floyd算法计算任意两个牧区之间的最短路,时间复杂度为O(n3)O(n^3)O(n3)。
代码实现
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<double,double> PDD;
const int N = 155;
const double INF = 1e20;
int n;
PDD p[N];
char g[N][N];
double d[N][N], maxd[N]; //maxd[i]表示在一个牧场中距离牧区i的最远距离
double get_dis(PDD a, PDD b)
{
double dx = a.first - b.first;
double dy = a.second - b.second;
return sqrt(dx * dx + dy * dy);
}
int main()
{
cin >> n;
for(int i = 0; i < n; i ++) cin >> p[i].first >> p[i].second;
for(int i = 0; i < n; i ++) cin >> g[i];
//初始化状态数组
for(int i = 0; i < n; i ++)
for(int j = 0; j < n; j ++)
if(i == j) d[i][j] = 0; //同一个点
else if(g[i][j] == '1') d[i][j] = get_dis(p[i], p[j]); //相邻计算距离
else d[i][j] = INF;
//Floyd计算任意两点之间的距离
for(int k = 0; k < n; k ++)
for(int i = 0; i < n; i ++)
for(int j = 0; j < n; j ++)
d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
double res1 = 0;
//计算每个牧区连通的最远牧区的距离
for(int i = 0; i < n; i ++)
{
for(int j = 0; j < n; j ++)
{
if(d[i][j] < INF / 2) //i和j是连通的
maxd[i] = max(maxd[i], d[i][j]);
}
res1 = max(res1, maxd[i]); //求所有牧场的最大直径
}
//枚举一条连接两个不同牧场的路径
double res2 = INF; //求连通两个牧场后,直径的最小值
for(int i = 0; i < n; i ++)
for(int j = 0 ; j < n; j ++)
{
if(d[i][j] > INF / 2) //两个牧区不连通
{
double x = get_dis(p[i], p[j]);
res2 = min(res2, maxd[i] + x + maxd[j]);
}
}
printf("%.6lf", max(res1, res2));
return 0;
}