数位动态规划:不要62

题目描述

杭州人称那些傻乎乎粘嗒嗒的人为 62(音:laoer)。

杭州交通管理局经常会扩充一些的士车牌照,新近出来一个好消息,以后上牌照,不再含有不吉利的数字了,这样一来,就可以消除个别的士司机和乘客的心理障碍,更安全地服务大众。

不吉利的数字为所有含有 4 或 62 的号码。例如:62315,73418,88914 都属于不吉利号码。但是,61152 虽然含有 6 和 2,但不是 连号,所以不属于不吉利数字之列。

你的任务是,对于每次给出的一个牌照号区间 [n,m],推断出交管局今后又要实际上给多少辆新的士车上牌照了。

输入格式

输入包含多组测试数据,每组数据占一行。

每组数据包含一个整数对 n 和 m。

当输入一行为“0 0”时,表示输入结束。

输出格式

对于每个整数对,输出一个不含有不吉利数字的统计个数,该数值占一行位置。

数据范围

1≤n≤m≤1091≤n≤m≤10^91nm109

输入样例

1 100
0 0

输出样例

80

算法思想——数位DP

根据题目描述求一个牌照号区间 [n,m][n,m][n,m]中、有多少个满足不含有 4 或 62 的号码。用数位DP的思想进行分析,例如求区间 [n,m][n,m][n,m]中符合条件的数的个数:

  1. 实现函数dp(n)求区间 [1,n][1,n][1,n]中符合条件的数的个数
  2. dp(m) - dp(n - 1)求区间 [n,m][n,m][n,m]中符合条件的数的个数

dp(n)可以用分类谈论的方法进行计算。在不能超过n的情况下,从最高位开始向下枚举数n的每一位a[i],计算出区间[1−n][1-n][1n]所有符合条件的方案。

如果从集合划分的角度进行分析,可以将所有分类用一棵二叉树表示出来。如下图所示:
在这里插入图片描述

  1. 左侧分支表示所有符合条件的数中第i位小于a[i]的情况,即0−a[i]−10-a[i] - 10a[i]1。此时,剩余i位的数字任意取都不会超过n,因此这一类的方案可以通过预先处理出i位数字且最高位不超过a[i] - 1的方案数(不包含4和62),然后进行累加即可。
  2. 右侧分支表示所有符合条件的数中第i位等于a[i]的情况,此时继续向下分类讨论即可。
  3. 最后一位a[0]单独处理,如果能走到最右侧结点a[0],说明数字n也是满足条件,此时总方案数增加1

算法实现

  1. 预处理出f[i][j],表示有i位数字且最高位为j的数字集合中,不包含数字4和62的方案数。状态计算:f[i][j]=∑f[i−1][k]f[i][j] = \sum{ f[i - 1][k] }f[i][j]=f[i1][k],其中
    • j,k≠4j,k\ne4j,k=4
    • jk≠62jk\ne 62jk=62
  2. 预处理出数字n的每一位a[i]
  3. 从高位到低位枚举,累加每一位上符合条件的方案数。

代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const int N = 15;
//f[i][j]表示i位数字且最高为j的数字集合中,不包含4、62的方案个数
int f[N][10];

//预处理f[i][j]
void init()
{
    //初始状态:一位数字的情况
    for(int i = 0; i <= 9; i ++) 
    {
        if(i != 4) f[1][i] = 1;
    }
    
    //状态计算
    for(int i = 2; i < N; i ++)
        for(int j = 0; j <= 9; j ++ )
        {
            if(j == 4) continue;
            for(int k = 0; k <= 9; k ++)
            {
                if(k == 4 || j == 6 && k == 2) continue;
                f[i][j] += f[i - 1][k];
            }
        }
}

int dp(int n)
{
    //n为0时,也满足条件
    if(!n) return 1;
    
    //将n的每一位保存到a数组中
    vector<int> a;
    while(n) a.push_back(n % 10), n /= 10;
    
    int res = 0, last = 0; //last记录上一位数字
    for(int i = a.size() - 1; i >= 0; i --)
    {
        int x = a[i];
        //累加左侧分支的方案,即所有小于a[i]的、满足条件的方案
        for(int j = 0; j < x; j ++)
        {
            if(j == 4 || last == 6 && j == 2) continue;
            res += f[i + 1][j];
        }
        
        //当没有右侧分支时
        if(x == 4 || last == 6 && x == 2) break;
        
        //记录当前位上的数
        last = x; 
        
        //当走到最后一位数时,说明n本身也是满足条件的方案
        if(!i) res ++;
    }
    return res;
}

int main()
{
    init();    
    int n, m;
    while(cin >> n >> m, n || m)
    {
        cout << dp(m) - dp(n - 1) << endl;
    }
    return 0;
}
### 数位 DP 算法详解 数位 DP 是一种基于动态规划的思想来解决特定计数问题的方法。它通过将数字分解成各个数位(如个位、十位等),并利用记忆化搜索的方式快速统计某个范围内满足某些条件的数字的数量。 #### 基本概念 数位 DP 主要用于解决如下形式的问题:给定一个闭区间 $[L, R]$,求该区间内满足某种条件的整数数量[^1]。为了高效解决问题,通常会采用 **记忆化搜索** 或者 **状态转移方程** 来减少重复计算的时间复杂度。 --- #### 核心思想 数位 DP 的核心在于将其转化为对每一位上的数值进行处理,并记录中间结果以便后续重用。以下是其主要特点: - 将数字按位拆分,逐位分析。 - 使用 DFS 配合记忆化数组存储子问题的结果。 - 利用前缀性质优化时间复杂度。 具体来说,在实现过程中需要考虑以下几个维度的状态变量: 1. 当前正在处理哪一位(`pos`); 2. 是否受到上界约束(即当前数字是否等于上限 `R` 的对应位置值,记作 `limit`); 3. 是否受下界约束(同理可定义为 `lower_limit`,但在实际应用中较少涉及); 4. 已经构建的部分是否满足题目中的特殊条件(比如包含连续两位相同的情况或其他限制条件)。 这些状态共同构成了递归函数的核心参数列表[^2]。 --- #### 实现方法 下面是一个通用的数位 DP 模板: ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; // 定义全局变量 int dp[20][state_size]; // 记忆化数组 vector<int> num; // 存储目标数字的各位表示 // dfs 函数原型 long long dfs(int pos, int state, bool limit); // 初始化入口函数 long long solve(long long x) { num.clear(); while (x > 0) { // 将数字转为逆序存储的形式 num.push_back(x % 10); x /= 10; } reverse(num.begin(), num.end()); memset(dp, -1, sizeof(dp)); // 清空记忆化缓存 return dfs(0, initial_state, true); // 开始递归调用 } // 具体的dfs逻辑 long long dfs(int pos, int state, bool limit) { if (pos == num.size()) return check(state); // 边界情况判断 if (!limit && dp[pos][state] != -1) return dp[pos][state]; int up = limit ? num[pos] : 9; // 如果有限制,则取较小值作为上限;否则可以达到最大可能值9 long long res = 0; for (int i = 0; i <= up; ++i) { int new_state = update(state, i); // 更新状态机 if (valid(new_state)) { // 只有合法的新状态才继续向下扩展 res += dfs(pos + 1, new_state, limit && (i == up)); } } if (!limit) dp[pos][state] = res; // 缓存无限制下的结果 return res; } ``` 上述代码展示了如何设计一个基础框架来进行数位 DP 的操作。其中需要注意的关键点包括但限于以下几点: - 如何初始化输入数据以及转换为目标格式; - 设计合适的状态空间大小 (`state_size`) 和初始状态 (`initial_state`); - 明确哪些条件下允许进入下一步迭代(`check`, `update`, and `valid`); --- #### 应用实例 以 HDU-2089 “不要62”为例说明其实现过程。此题要求找出 `[l, r]` 范围内的所有含字符串 `"62"` 的正整数总数。 ##### 解决方案 我们可以先分别算出从零到右端点 `r` 中符合条件的数目再减去同样规则作用于左端点左边区域所得值即可得出最终答案。 ```cpp bool valid(string s){ string t="62"; if(s.find(t)!=string::npos)return false; return true; } ``` 这里省略了完整的程序清单但由于遵循之前提到的标准模式所以应该很容易理解整个流程是如何运作起来的[^3]。 --- ### 总结 通过对数位 DP 技巧的学习可以看出这是一种非常有效的手段用来应对那些单纯依靠暴力穷举无法胜任的大规模查询请求场景。只要掌握了基本原理加上灵活运用就能轻松搞定许多看似复杂的难题啦!
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