二进制补码运算

本文深入解析了计算机系统中采用补码表示数值的原因,包括符号位统一处理、加减法统一运算等优势。详细解释了正数和负数补码的计算方法,以及补码与原码之间的转换过程,通过实例说明了补码在实际计算中的运用。

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        在计算机系统中,数值一律用补码来表示和存储。原因在于,使用补码,可以将符号位和数值域统一处理;同时,加法和减法也可以统一处理。此外,补码与原码相互转换,其运算过程是相同的,不需要额外的硬件电路。
       补码运算:  正数补码是其原码  负数的补码为其数值位部分取反加一(符号位不变)

负数X的补码 = |X|按位求反+1 
= X按拉求反(除符号位外)+1 
= 模 - |X| (强调了补码运算本质上是一种模运算,这就是称其为“补码”的缘由)

       注释: 负数就相当于减去一个正数 ;减去一个正数就相当于加上一个负数;加上一个负数就相当于加上这个负数的补码;负数的补码为其数值部分取反加一。(即减去一个数等于加上这个数对应负数的补码)

       例如: - 6 等于  + (-6的补码)

- 6 补码:

-6的原码: 1110

对-6的原码取反(-6的反码): 1001

对-6的原码取反加一(-6的补码):1010 (即-6在计算机系统中的表示)

求补码的原码:

  例如 -6的补码为1010

  对1010取反: 1101

+1 : 1110 (十进制为-6)

 

### 关于二进制补码运算中的有效位数 在讨论二进制补码运算的有效位数时,需理解几个核心概念。 #### 补码表示法的特点 对于8位二进制数而言,范围是从`0000 0000`到`1111 1111`,即从0至255。然而当涉及到有符号整数时,这个区间被重新定义为[-128, 127]。其中最高位作为符号位来区分正负数值;如果是1则代表该数为负值[^2]。 #### 运算过程中的溢出处理 当执行加减操作时,可能会遇到超出当前数据类型的存储能力的情况——这就是所谓的“溢出”。为了保持结果的准确性,在进行任何涉及两个同长度的操作数之间的算术运算之前,应该先确认它们不会引起溢出现象。一旦发生溢出,最低端的有效位会被保留下来而高位部分将丢失,这可能导致最终的结果不符合预期。 #### 计算方法实例说明 假设现在有一个字节大小的数据类型用于保存带符号的整型变量,并且想要计算-65加上某个正值后的效果: 1. 首先找到给定数字(-65)对应的八位二进制形式:`1100 0011`(这是通过原码->反码->补码转换而来)[^1]; 2. 接着按照正常的数学逻辑来进行相加动作; 3. 如果总和超出了可表达的最大/最小界限,则会发生溢出现象,此时只记录下能够容纳的部分即可。 ```python def add_with_complement(a: int, b: int) -> str: # 将输入转化为8位二进制字符串并反转成补码形式 a_bin = format((a + (1 << 8)) % (1 << 8), '08b') b_bin = format((b + (1 << 8)) % (1 << 8), '08b') result_int = ((int(a_bin, base=2) + int(b_bin, base=2))) % (1 << 8) return bin(result_int)[2:].zfill(8) print(add_with_complement(-65, 1)) ``` 此代码片段展示了如何利用Python实现简单的带有补码机制的一字节数组间的求和功能。注意这里忽略了可能产生的进位信息以模拟实际硬件行为。
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