欧几里得算法和唯一分解定理（数论）

1.欧几里得算法
欧几里得算法也叫辗转相除法，是求两个整数最大公约数的算法。
设两数为a、b(a>b)，求a和b最大公约数(a，b)的步骤如下：用a除以b，得a÷b=q……r1(0≤r1)。若r1=0，则(a，b)=b；若r1≠0，则再用b除以r1，得b÷r1=q……r2(0≤r2）.若r2=0，则(a，b)=r1，若r2≠0，则继续用r1除以r2，……如此下去，直到能整除为止。其最后一个为被除数的余数的除数即为(a, b)。
例如：a=25,b=15，a/b=1……10,b/10=1……5,10/5=2…….0,最后一个为被除数余数的除数就是5,5就是所求最大公约数。
用辗转相除法确定两个正整数 a 和 b(a≥b) 的最大公因数gcd(a,b)：
当a mod b=0 时gcd(a,b)=b,否则
gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
递归或循环运算得出结果(来源：百度文库)
就是a b的乘积除以它们两个的最大公约数
举例：HDU019

int gcd(int a,int b)  
{  
    return b == 0 ? a : gcd(b,a%b);//递归  
}  
//边界条件是gcd(a,0)  

#include<iostream>  
using namespace std;  
//辗转相除法求最大公约数  

int gcd(int a,int b)  
{  
    return b == 0 ? a : gcd(b,a%b);//递归  
}  

int main()  
{  
    int t,n,x,y;  
    cin>>t;  
    while(t--)  
    {  
        cin>>n>>x;  
        n--;  
        while(n--)//辗转相除法求最小公倍数  
        {  
            cin>>y;  
            x=x/gcd(x,y)*y;  
        }  
        cout<<x<<endl;  
    }  
    return 0;  
}  

#include<iostream>  
#include<cstdio>  
using namespace std;  
int main()  
{  
    int p,n,m,s;  
    scanf("%d",&p);  
    while(p--)  
    {  
        scanf("%d%d",&m,&n);  
        while(m!=1&&m!=0)  
        {  
            s=n%m;  
            n=m;  
            m=s;  
        }  
        if(m==0)  
            printf("YES\n");  
        else  
            printf("NO\n");  
    }  
        return 0;  
}  

#include<iostream>  
#include<cstdio>  
using namespace std;  
int main()  
{  
    long long p,n,m;  
    cin>>p;  
    while(p--)  
    {  
        cin>>m>>n;  
        if(m!=1&&((m%2==0&&n%2==0)||(n%2&&m%2)))//偶数,不能忘了m!=1  
            cout<<"YES"<<endl;  
            else  
                cout<<"NO"<<endl;  
    }  
}  

2.唯一分解定理
根据唯一分解定理，同样利用gcd可以求解最小公倍数
a=p1^e1 * p2^e2 * p3^e3 ……pr^er
b=p1^f1 * p2^f2 * p3^f3 ……pr^fr
gcd(a,b)=p1^min(e1,f1) * p2^min(e2,f2) * p3^min(e3,f3) ……pr^min(er,fr)
lcm(a,b)=p1^max(e1,f1) * p2^max(e2,f2) * p3^max(e3,f3) ……pr^max(er,fr)
可以看出gcd(a,b)*lcm(a,b)==a*b,所以 lcm(a,b) 就是最小公倍数。